رول یا لاگرانژ یا کوشی؟
در ابتدا تا انتهای این بلاگ فرض اینه که: $- \infty <a<b<+ \infty $.
قضیه (لاگرانژ):اگر توابع $f,g:[a,b] \longrightarrow R$ بر $[a,b]$ پیوسته و بر $(a,b)$ مشتق‌پذیر باشند آنگاه:
$$ \exists c \in (a,b) s.t (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)$$
اثبات:تعریف کنید:
$$h:[a,b] \longrightarrow R,h(x)=(f(b)-f(a))g(x)-(g(b)-g(a))f(x)$$
این تابع بر $[a,b]$ پیوسته و بر $(a,b)$ مشتق‌پذیر است (چرا؟) و چون $[a,b]$ فشرده است لذا $h([a,b])$ نیز فشرده و لذا مقادیر ماکسیمم و مینیمم مطلق خود را بر $[a,b]$ میگیرد.با یک محاسبه ساده متوجه می شویم که $h(a)=h(b)$.اگر تابع $h$ ثابت باشد آنگاه برای هر $x \in (a,b)$ داریم:
$$ h'(x)=(f(b)-f(a))g'(x)-(g(b)-g(a))f'(x)=0$$
لذا می‌توان $c$ را هر نقطه از $(a,b)$ انتخاب کرد و اگر $h$ تابعی ثابت نباشد با توجه به $f(a)=f(b)$ عددی مانند $t$ در $(a,b)$ وجود دارد که $f(t) \neq h(a)=h(b)$.
اگر $f(t)<h(a)$ آنگاه مینیمم مطلق $h$ در $a$ و در $b$ اتفاق نمی‌افتد پس مینیمم در نقطه‌ای مانند $c$ است که $c \in (a,b)$ و لذا مینیمم نسبی هم هست و لذا $h'(c)=0$ و اثبات تمام است.اگر $f(t)>h(a)$ آنگاه ماکسیمم مطلق $h$ در $a$ و در $b$ اتفاق نمی‌افتد پس ماکسیمم در نقطه‌ای مانند $d$ است که $d \in (a,b)$ و لذا ماکسیمم نسبی هم هست و لذا $h'(d)=0$ و اثبات تمام است.
قضیه:(مقدار میانگین برای مشتق)(کوشی):اگر تابع $f:[a,b] \longrightarrow R$ بر $[a,b]$ پیوسته و بر $(a,b)$ مشتق پذیر باشد آنگاه:
$$ \exists c \in (a,b) s.t f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$$
اثبات: در قضیۀ لاگرانژ قرار دهید $g=I_{[a,b]}$.
قضیه (رول):اگر $f:[a,b] \longrightarrow R$ بر $[a,b]$ پیوسته و بر $(a,b)$ مشتق‌پذیر باشد و $f(a)=f(b)$ آنگاه:
$$\exists c \in (a,b) s.t f'(c)=0$$
اثبات:در قضیۀ کوشی کافیست شرط $f(a)=f(b)$ را اعمال کنیم.
$ \Box $
میشل رول (انگلیسی: $Michel Rolle$ ۲۱ آوریل ۱۶۵۲ – ۸ نوامبر ۱۷۱۹) دانشمند در زمینه ریاضیات اهل فرانسه بود.
ژوزف لویی لاگرانژ (به فرانسوی: $Joseph-Louis Lagrange$) (به ایتالیایی: $Giuseppe Luigi Lagrangia$) (زاده ۲۵ ژانویه ۱۷۳۶ در تورین ایتالیا؛ درگذشته ۱۰ آوریل ۱۸۱۳ در پاریس)، ریاضی‌دان، فیزیک‌دان و ستاره‌شناس ایتالیایی-فرانسوی بود.
آگوستین لویی کوشی($Baron Augustin Louis Cauchy$) تولد: 21 آگوست 1789 -- پاریس، فرانسه درگذشت: 23 می 1857، در سن 67 سالگی، شهر $Sceaux $ فرانسه.
اگر تاریخ تولد صاحبان قضیه‌ها را ملاک برای تاریخ تولد قضیه‌ها بگیریم باید بگوییم قضیۀ لاگرانژ تعمیم قضیۀ رول و قضیۀ کوشی حالت خاصی از قضیۀ لاگرانژ است.
ما از کدام آرشیو و دانشگاه بدانیم؟چه معلوم.ممکنه این نوابغ از آثار همدیگر اصلن خبری نداشته اند.به هر حال این قضیه یکی از دستاوردهای بزرگ ریاضیات است که باید خالقش را ستود.یاد هر سه تاشون زنده و گرامی باد.
