انتگرال‌های فرولانی و نتایج آن:
قضیۀ ( انتگرال فرولانی): تابع پیوسته $f:[0,+ \infty ) \longrightarrow R$ داده شده و $f( \infty ):= \lim_{x\to + \infty } f(x) \in R$ در این صورت برای هر دو عدد مثبت حقیقی دلخواه $b,a$ داریم:
$$ \int_0^ \infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x} dx=(f(0)-f( \infty ))Log( \frac{b}{a} )$$
اثبات:اگر $a=b$ کار تمام است.پس فرض کنید که $a<b$.اگر $t,s$ دو عدد حقیقی دلخواه باشند که $0<s<t$ آنگاه با تغییر متغیر $u=ax$ و $u=bx$ داریم:
$$\int_s^t \frac{f(ax)-f(bx)}{x} dx= \int_{as}^{bs} \frac{f(u)}{u} du-\int_{at}^{bt} \frac{f(u)}{u} du$$
از طرفی بنابه قضیۀ اول مقدار میانگین برای انتگرالها داریم (چطور؟):
$$ \exists c \in [as,bs],d \in [at,bt]:\int_{as}^{bs} \frac{f(u)}{u} du=f(c)Log( \frac{b}{a} ),\int_{at}^{bt} \frac{f(u)}{u} du=f(d)Log( \frac{b}{a} )$$
بنابراین می توان نوشت:
$$\int_0^ \infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x} dx= \lim_{(s,t)\to (0, \infty )} \int_s^t\frac{f(ax)-f(bx)}{x} du$$
$$=\lim_{s\to 0} \int_{as}^{bs} \frac{f(u)}{u} du- \lim_{t\to \infty } \int_{bt}^{bt} \frac{f(u)}{u} du$$
$$=f(0)Log( \frac{b}{a} )-f( \infty )Log( \frac{b}{a} )=(f(0)-f( \infty ))Log( \frac{b}{a} )$$
نتیجه اول:تابع پیوسته $f:[0,\infty), \longrightarrow R$ و عدد حقیقی مثبت $A$ طوری است که انتگرال $ \int _0^ \infty \frac{f(x)}{x} dx$ موجود است در این صورت به ازای هر دو عدد حقیقی و مثبت $b,a$ داریم:
$$ \int_0^ \infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x} dx=f(0)Log( \frac{b}{a} )$$
اثبات:شبیه قضیه فرولانی است با این توجه که از خاصیت کوشی انتگرال ناسره استفاده کنید و قرار دهید $0<s<A<t$.
نتیجه دوم:تابع پیوسته $f:(0, \infty ) \longrightarrow R$ و عدد مثبت حقیقی $A$ طوری است که $ \int_0^A \frac{f(x)}{x} dx$ همگراست و $f( \infty ):= \lim_{x\to \infty } f(x) \in R$.در این صورت برای هر دو عدد حقیقی و مثبت $b,a$ داریم:
$$ \int_0^ \infty \frac{f(ax)-f(bx)}{x} dx=f( \infty )Log( \frac{a}{b} )$$
اثبات:مشابه نتیجه اول است.
چند مثال:
$$1) \int_0^ \infty \frac{e^{-ab}-e^{-bx}}{x}dx=Log( \frac{b}{a} ),a,b>0$$
$$2) \int_0^ \infty \frac{tan^{-1}(ax)-tan^{-1}(bx)}{x}dx=Log( \frac{a}{b} ),a,b>o$$
$$3) \int_0^ \infty \frac{cos(ax)-cos(bx)}{x} dx=Log( \frac{b}{a} )$$
$$4) \int_0^ \infty \frac{sin(ax)sin(bx)}{x} dx= \frac{1}{2} Log \frac{b+a}{b-a} ,0<a<b$$
$ \Box $
جولیانو فرولانی $Giuliano Frullani $ در ۲۳ فوریه ۱۷۹۵ در لیورنو متولد شد. پدرش لئوناردو دی دومنیکو فرولانی (۱۷۵۶-۱۸۲۴)، سیاستمدار و اقتصاددان برجسته ایتالیایی، در سال ۱۷۹۲ با مادالنا دی لوکا دی ایگناتسیو اومبروسی، از خانواده‌ای سرشناس از حقوقدانان، ازدواج کرد.
او در دسامبر ۱۸۰۲، در سن ۸ سالگی شروع به یادگیری دستور زبان کرد و بلافاصله هوش و ذکاوت فوق‌العاده‌ای از خود نشان داد. فرولانی سپس تحصیلات ادبی خود را در دانشگاه پیزا، که در آن زمان تحت امپراتوری فرانسه بود، آغاز کرد، اما خیلی زود تحت نظر پیترو پائولی، یکی از چهره‌های برجسته دانشگاهی آن زمان و استاد «ریاضیات والا»، به ریاضیات روی آورد. او در سال ۱۸۱۱ مدرک لیسانس خود را از دانشکده علوم دریافت کرد. در سال ۱۸۱۳ در کلاس علوم مدرسه عالی (Scuola Normale) پذیرفته شد و در سن ۱۷ سالگی به عنوان دانشجوی جایگزین انتخاب شد. سپس در سن ۱۹ سالگی برای تصدی کرسی ریاضیات عالی وارد شد و به نوبه خود دوستش گوگلیلمو لیبری (۱۸۰۳-۱۸۶۹) را به عنوان دانشجو در کنار خود داشت.
با این حال، در سال ۱۸۲۰، تدریس دانشگاهی را که در پیزا آغاز کرده بود، رها کرد زیرا به عنوان مدیر اداره ثبت اسناد و املاک، پل‌ها و جاده‌ها به فلورانس فراخوانده شد و جای خود پائولی را گرفت، جایی که او نقش‌های متعددی داشت که به علاقه او به جنبه‌های کاربردی ریاضیات پاسخ می‌داد. با این حال، او مدت‌ها در زندگی خصوصی خود به پرورش اشتیاق ادبی خود ادامه داد.
در سال ۱۸۲۵، او به همراه گائتانو جورجینی به هیئت مدیره تازه تأسیس سپاه مهندسان پیوست.
فعالیت علمی او دائماً تحت تأثیر شرایط نامساعد سلامتی‌اش بود، که او را ملزم به اقامت مکرر در استراحتگاه‌های آبگرم دور از مراکز تحقیقاتی می‌کرد. با وخامت حالش پس از مرگ پدرش، احتمالاً در عصر 22 مارس 1834 به بیماری خلط خونی مبتلا شد و در ساعت چهار بعد از ظهر 25 مه 1834 درگذشت.
گرچه خودش افول کرده اما مدارش در جهان ریاضیات همچنان هست.یادش زنده و گرامی.
