در سال $1903$ ریاضیدانی اسکاتلندی به نام رابرت فرانکلین مورهد مقالهای منتشر میکند که نتایج کوشش در ارتباط با نامساویهاست.در این مقاله قضیهای نتیجه میشود که به قضیۀ (نامساوی) مورهد مشهور است و از آن زمان تا حالا کار خیلی از دانشجویان و ریاضیدانان و نوابغ ریاضی را آسان کرده است.
فرض کنید $(a)=(a_1,a_2,...,a_n)$ و $(b)=(b_1,b_2,...,b_n)$ دو دنباله $n$ تایی از اعداد حقیقی غیر منفی و $(x)=(x_1,x_2,...,x_n)$ دنباله ای از اعداد حقیقی مثبت باشد.تعریف کنید:
$$[a]:=\frac{1}{n!} \sum_!x_1^{a_1}x_2^{a_2}...x_n^{a_n}$$
(منظور از سیگما روی فاکتوریل تمام مجموعها روی تمام جایگشتهای دنبالۀ $(x)$ است.)
میگوییم $(a) \prec (b)$ به این معنی که:
$$1) \sum_{k=1}^ma_k \leq \sum_{k=1}^mb_k, \forall 1 \leq m \leq n-1$$
$$2) \sum_{k=1}^na_k=\sum_{k=1}^nb_k$$
مثال:
$$1) [1,1]= \frac{1}{2!}(x_1^1x_2^1+x_2^1x_1^1)= \frac{1}{2} (x_1x_2+x_1x_2)= \frac{1}{2} (2x_1x_2)=x_1x_2$$
$$2) [2,1,0]= \frac{1}{3!} (x_1^2x_2^1x_3^0+x_1^2x_3^1x_2^0+x_2^2x_1^1x_3^0+x_2^2x_3^1x_1^0+x_3^2x_1^1x_2^0+x_3^2x_2^1x_1^0)$$
$$=\frac{1}{6} (x_1^2(x_2+x_3)+x_2^2(x_3+x_1)+x_3^2(x_1+x_2))$$
$$3) [1,0,0,...,0]= \frac{1}{n} (x_1+x_2+...+x_n)$$
$$4) [1 \frac{1}{n} , \frac{1}{n} ,..., \frac{1}{n} ]= \sqrt[n]{x_1x_2...x_n} $$
قضیۀ مورهد $(Muirhead’s theorem)$:فرض کنید $(a)=(a_1,a_2,...,a_n)$ و $(b)=(b_1,b_2,...,b_n)$ دو دنباله $n$ تایی از اعداد حقیقی غیر منفی و $(x)=(x_1,x_2,...,x_n)$ دنباله ای از اعداد حقیقی مثبت باشد.در این صورت:
$$(a) \prec (b) \Leftrightarrow [a] \leq [b]$$
نامساوی به تساوی تبدیل میشود اگر و تنها اگر $(a)=(b)$ یا $x_1=x_2=...=x_n$.
مثال:
$$1) (1,1) \prec (2,0) \Longrightarrow [1,1] \leq [2,0] \Longrightarrow 2xy \leq x^2+y^2$$
$$2) (1,0,0,...,0) \succ ( \frac{1}{n} , \frac{1}{n} ,..., \frac{1}{n}) \Longrightarrow [1,0,0,...,0] \geq [\frac{1}{n} , \frac{1}{n} ,..., \frac{1}{n}]$$
$$ \Longrightarrow \sqrt[n]{x_1x_2...x_n} \leq \frac{x_1+x_2+...+x_n}{n} $$
در مثال دوم چون $(1,0,0,...,0) \ \neq ( \frac{1}{n} , \frac{1}{n} ,..., \frac{1}{n})$ پس تساوی برقرار است اگر و تنها اگر $x_i$ برابر باشند.این مثال نشان میدهد که نامساوی میانگین حسابی هندسی حالت خاصی از نامساوی مورهد است.
اثبات این نامساوی زیبا را به خاطر طولانی بودن در اینجا نیاوردم.مشتاقان میتوانند به [https://mathematicalolympiads.wordpress.com/wp-content/uploads/2012/08/inequalities-a-mathematical-olympiad-approach-oct-2009.pdf ] مراجعه کنند.
نامساوی شور ($Schur's inequality$):اگر $a$ و $b$ دو عدد حقیقی باشند و $b>0$ آنگاه:
$$[a+2b,0,0]+[a,b,b] \geq 2[a+b,b,0]$$
اثبات آسان است.اگر یک بار قرار دهیم $b=1$ و یک بار $a=b=1$ آنگاه طبق نامساوی شور برای عدد حقیقی $a$ و اعداد غیر منفی و حقیقی $a,z,y,x$ داریم:
$$x^a(x-y)(x-z)+y^a(y-z)(y-x)+z^a(z-x)(z-y) \geq 0$$
$$,x^3+y^3+z^3+3xyz \geq x^2(y+z)+y^2(z+x)+z^2(x+y)$$
نامساوی کاراماتا ($Karamata's inequality$):اگر $I$ یک بازه و $f:I \longrightarrow R$ تابعی محدب و (a)و $(b)$ دو دنباله در $I$ باشند و $(a) \prec (b)$ آنگاه :
$$f(a_1)+f(a_2)+...+f(a_n) \leq f(b_1)+f(b_2)+...+f(b_n)$$
اگر دنبالهها مساوی نباشند و $f$ اکیدن محدب باشد نامساوی نتیجه اکید است.و اگر $f$ مقعر باشد نامساویها برعکس میشود.
رابرت فرانکلین مورهد $(1860-1941)$ ریاضیدانی متولد گلاسکو، اسکاتلند بود. مورهد در سال $1879$ با مدرک لیسانس و در سال $1881$ با مدرک فوق لیسانس از دانشگاه گلاسکو با بالاترین افتخارات در ریاضیات و فلسفه طبیعی (فیزیک) فارغ التحصیل شد.او در طول دوران کاری خود بیش از $90$ مقاله منتشر کرد که مشهورترین آنها مقاله "نابرابری مورهد" با عنوان "نابرابریهای مربوط به برخی از ابزارهای جبری" بود.یادش زنده و گرامی باد.
$ \Box $
