قضایای بنیادی اول و دوم حساب دیفرانسیل و انتگرال و دیگر قضایا:
در این بلاگ منظور از انتگرالپذیری انتگرالپذیری ریمان است.
قضیه:تابع $f:[a,b] \longrightarrow [c,d]$ و تابع پیوستۀ $g:[c,d] \longrightarrow R$ داده شدهاند.اگر $f$ بر $[a,b]$ انتگرالپذیر باشد آنگاه تابع $h:=gof$ نیز بر $[a,b]$ انتگرالپذیر است.
اثبات به کمک تعریف انتگرال و پیوستگی یکنواخت (؟) $f$ نه زیاد به سادگی امکانپذیر است.
قضیه:فرض کنیم تابع $f:[a,b] \longrightarrow R$ روی بازه $[a,b]$ انتگرالپذیر باشد.تابع
$$F:[a,b] \longrightarrow R,F(x)= \int_a^xf,x \in [a,b]$$
که معین است (چرا؟) رادر نظر بگیرید.در اینصورت:
الف)تابع $F$ در $[a,b]$ در شرط لیپشیتس صدق میکند و لذا بطور یکنواخت بر $[a,b]$ پیوسته است.
ب) (قضیۀ بنیادی یکم حساب دیفرانسیل و انتگرال): اگر $d \in [a,b]$ و $f$ در $d$ پیوسته باشد آنگاه $F$ در $d$ مشتق پذیر است و $F'(d)=f(d)$.
اثبات آسان است.
نتیجه 1): در قضیۀ بنیادی اول پیوستگی $f$ در $d$ شرطی کافی برای مشتقپذیری $F$ است نه لازم.(چرا؟).
نتیجه 2): اگر $I$ یک بازه دلخواه باشد و تابع $f:I \longrightarrow R$ بر بازۀ $I$ پیوسته باشد در این صورت $f$ بر $I$ تابع اولیه دارد یعنی یک تابع مانند $F:I \longrightarrow R$ مشتقپذیر بر $I$ موجود است که برای هر $x \in I$ داریم:
$$F'(x)=f(x)$$
نتیجه 3): در نتیجه دوم پیوستگی $f$ شرط کافیست نه لازم.قرار دهید:
$$f:[0,1] \longrightarrow R,f(0)=0,f(x)=2xsin( \frac{1}{x})-cos( \frac{1}{x}) , x \in (0,1]$$
این تابع در صفر ناپیوسته است اما دارای تابع اولیه $F$ است که:
$$F:[0,1] \longrightarrow R,F(0)=0,F(x)=x^2sin( \frac{1}{x}),x \in (0,1]$$
قضیه (قضیۀ بنیادی دوم حساب دیفرانسیل و انتگرال): دو تابع $f,g:[a,b] \longrightarrow R$ به گونهای هستند که بر $[a,b]$:
الف) $f$ انتگرالپذیر است.
ب) $g$ پیوسته است.
پ) $g$ بر $(a,b)$ مشتقپذیر است و برای هر $x \in (a,b)$ داریم $g'(x)=f(x)$.
( به سخن دیگر $g$ یک تابع اولیه برای $f$ بر $(a,b)$ است).در این صورت $f$ انتگرالپذیر است و داریم:
$$ \int_a^bf=g(b)-g(a)$$
( تساوی اخیر به فرمول نیوتن-لایبنیتس شناخته شده است.)
اگر در شرط ب به جای پیوستگی $g$ وجود حد راست $g$ در $a$ و حد چپ $g$ در $b$ را بذاریم قضیه کماکان برقرار است و داریم:
$$ \int_a^bf=g_-(b)-g_+(a) $$
اثبات آسان است.
قضیه ( انتگرالگیری جزء به جزء): اگر دو تابع
$$ f,g:[a,b] \longrightarrow R $$
به گونهای باشند که بر $[a,b]$ مشتقپذیر و انتگرالپذیر باشندآنگاه داریم:
$$ \int_a^bfg'+ \int_a^bf'g=fg|_a^b(=(fg)(b)-(fg)(a)) $$
اثبات:کافیست قضیۀ دوم بنیادی حساب دیفرانسیل و انتگرال را برای تابع $fg$ بکار ببرید.
قضیه (تغییر متغیر ): بازۀ دلخواه $I$ و تابع پیوسته $f:I \longrightarrow R$ داده شده اند. اگر تابع $g:[c,d] \longrightarrow R$ بر $[c,d]$ دارای مشتق پیوسته باشد آنگاه:
$$ \int_{g(c)}^{g(d)}f= \int_c^d(fog).g'$$
اثبات: از تابعهای کمکی:
$$F:I \longrightarrow R, F(x):= \int_{g(c)}^xf,x \in I $$
$$,G:[c,d] \longrightarrow R,G(t):= \int_c^t(fog).g',t \in [c,d] $$
استفاده کنید اثبات آسان است.
قضیه ( صورت کلیتر قضیه تغییر متغیر): فرض کنید $h:[c,d] \longrightarrow R$ انتگرالپذیر باشد. نقطۀ $a$ را در $[c,d]$ ثابت در نظر بگیرید و تعریف کنید:
$$g:[c,d] \longrightarrow R,g(x):= \int_a^xh,x \in [c,d] $$
اکنون فرض کنید تابع $f$ بر $g([c,d])$ انتگرالپذیر باشد. در اینصورت تابع $(fog).h$ بر $[c,d]$ انتگرالپذیر است و داریم:
$$ \int_{g(c)}^{g(d)}f= \int_c^d(fog).h$$
اثبات به کمک قضیۀ تغییر متغیر آسان است.[به نظر میرسد این کلیترین قضیه در مورد تغییر متغیر در انتگرال باشد.]
مثال: با تغییر متغیر $x=g(t) sint $ و
$$[c,d]=[ \frac{ \pi }{6} , \frac{ \pi }{3} ]$$
یا
$$ [c,d]=[ \frac{2\pi }{3} , \frac{2 5 \pi }{6}] $$
داریم:
$$ \int_ \frac{1}{2} ^ \frac{ \sqrt{3} }{2} \frac{dx}{x \sqrt{1-x^2} }= \int_ \frac{ \pi }{6}^ \frac{\pi }{3} \frac{dt}{sint} = \int_ \frac{2 \pi }{3} ^\frac{5 \pi }{6} \frac{dt}{sint} =Log \frac{2+ \sqrt{3} }{ \sqrt{3}} $$
توجه داشته باشید که انتخاب
$$[c,d]=[ \frac{2\pi }{3} , \frac{2 5 \pi }{6}]$$
درست نیست زیرا باید داشته باشیم:
$$[ \frac{1}{2} , \frac{ \sqrt{3} }{2} ] \subseteq g([c,d])$$
$ \Box $
مطالبی که در اینجا ارائه شدند سادهاند اما نتیجه قرنها کوشش و نبوغ بزرگانی چون نیوتن و لایبنیتس و ریمان و داربو و کوشی و وایرشتراس و ددکیند و ...اند.این مفاهیم بنیان ریاضیات و بخصوص آنالیز اند.اهمیت این مفاهیم به حدی است که دستگاه سلطنتی بریتانیا زمانی وارد دادگاه نیوتون و لایبنیتس بر سر کشف حساب دیفرانسیل میشود.شکی نیست اگر جان فون نیومن در هشت سالگی بر این مفاهیم ساده اما مهم مسلط نمیبود بعدها در پرینستون شارح کوانتوم و از نوابغ دوران خود نمیشد.
چند سال پیش کتابی را میخواندم تحت عنوان "نامهای فلسفی در مورد انگلستان" اثر ادیب و فیلسوف ونابغۀ فرانسوی "فرانسوا ولتر".این نامه ها را ولتر در مورد مفاهیمی متعدد خطاب به مردم فرانسه در دوران تبعیدش در انگلستان نوشته است. در یکی از این نامهها خطاب به کشیشان دربار لوئیهای کثیف فرانسه ( چهارده یا پانزدهم؟) از عظمت نیوتن میگوید.ولتر به این کشیشان دکاندار مینویسد در انگلستان اندیشمندی به نام نیوتن هست که تمام قوانین هستی و آن خدایی را که شما دستآویز ظلم قرار دادهاید، نوشته.در این تبعید پر بار ولتر دوست صمیمی نیوتن میشود اما متأسفانه این دوستی زیاد طول نمیکشد زیرا نیوتن دار فانی را ترک میکند.ولتر مینویسد بزرگترین افتخار زندگیش دوستی با نیوتن و شرکت در مراسم خاکسپاری ایشان بوده.
ما نه ولتر دا دیدیم نه نیوتون اما از ثمره کوشش و نبوغ ایشان بهرمندیم. وظیفه ما پاسداشت تفکر بزرگان است البته در راه صلح، خدمت به بشر نه راه جنگ و ویرانی و بربریت.زمانی ولتر در نتیجه تفکر و هم صحبتی و رفاقت با بزرگانی چون نیوتون خطاب به ژان ژاک روسو نوشت دیگر جالب نیست روی دست و پا راه برم.من میگم در سایه ریاضیات و تفکر منطقی وضعیت اسفناک جهان برای بشر مایۀ شرمندگیست.
