قضیۀ لانۀ کبوتر (نظریۀ محض مجموعهها):
هیچ عددی طبیعیای با زیر مجموعهی سرهای از خود هم عدد ( کاردینالیته یکسان ) نیست.
قضیۀ لانه کبوتر ( صورت ساده):
اگر $n$ شیء را در $r$ جعبه قرار دهیم که $r<n$ آنگاه حاقل جعبهای وجود دارد که شامل حداقل $2$ شیء است.
قضیۀ لانه کبوتر ( صورت ساده و کلیتر):
اگر $nr+1$ شیء را در $r$ جعبه قرار دهیم آنگاه حداقل جعبهای وجود دارد که شامل حداقل $n+1$ شیء است.
اثبات با برهان خلف ساده است.
مثال 1): اعدا $1,2,...,2n$ داده شدهاند.اگر از میان این اعداد $n+1$ تا را انتخاب کنیم در میان آنها دو عدد وجود دارند که نسبت به هم اولند.
اثبات: در بین این اعداد انتخاب شده دو تا وجود دارند که اختلافشان یک واحد است. زیر در غیر این صورت عدد بزرگتر از $2n$ بیشتر میشود که امکان ندارد.اگر این اعداد $a,a+1$ باشن داریم: $(a,a+1)=1$.
مثال 2): اگر $n,m>0 $ دو عدد طبیعی باشند و $a_1,a_2,...,a_{mn+1}$ یک دنباله به طول $mn+1$ با جملات دوبدو مجزا، آنگاه این دنباله زیر دنبالهای صعودی به طول $m+1$ یا زیر دنبالهای نزولی به طول $n+1$ دارد.
اثبات: فرض کند $t_i$ و $s_i$ به ترتیب طول بزرگترین زیر دنبالۀ صعودی و نزولی با شروع از $a_i$ باشد. اگر برای هر اندیس $i$ داشته باشیم $t_i<m+1$ و $s_i<m+1$ به تناقض میرسیم(؟).
یک شب ضمن شام پاول اردوش $(Erdős Pál)$ مسألهای را برای دانشجوی جوانی به نام لایوش پوسا $(Lajos Posa)$ مطرح میکند که به نوعی شبیه مثال 1 است:
اعدا $1,2,...,2n$ داده شدهاند.اگر از میان این اعداد $n+1$ تا را انتخاب کنیم آنگاه در میان آنها دو عدد وجود دارند که یکی دیگری را میشمارد.
زمانی که صرف حل این مسأله میشه همان زمان صرف شام است. این مسأله از نگاه اردوش همواره یکی از مسائل مناسبی بود که برای "تشرف" افراد جدید به ریاضیات میتوان با آنها در میان گذاشت. اثبات لایوش چنین است:
اگر $a$ عددی دلخواه از میان $n+1$ عدد انتخاب شده باشد که $a=2^km$ آنگاه باید $0 \leq a$ و $m$ فرد. حالا توجه کنید که چون فقط $n$ عامل متفاوت فرد در بازه مذکور وجود دارد باید دو تا عدد از میان اعداد مورد نظر دارای بخش فرد یکساناند. بنابراین یکی باید دیگری را بشمارد.
پاول اردوش ریاضیدانی درجه اول و شخصیتی کم نظیر بود. بیشتر پولش را به خاطر حل مسائل به دانشجویانش میداد. زمانی هم که به ایران آمد پولهایش را به زلزله زدگان بخشید. یک بار مقداری پول به یکی از دانشجوهایش میدهد. سالها بعد این دانشجو که کرسی استادی را کسب میکند و میخواهد پول را به اردوش برگرداند اردوش به ایشان میگه که من پول را چطور به شما دادم شما هم به کسی دیگر بدهید. ساده پوش با ژاکتهای ژولیده ساده زیست اما به تمام معنی متعهد به ریاضیات.
یادمه چند سال پیش در یک کتابفروشی کتابی دیدم تحت عنوان "عادات و آداب روزانۀ بزرگان" از نویسندهای به نام "میسن کری" نشر فرهنگ جاوید با ترجمۀ مترجم درجه اول"حسن کامشاد".فهرست و مقدمه کتاب را که خوندم متوجه شدم گوشهای از زندگانی پنهان بزرگان (بیشتر ادیبان) است مثل گوته شیلر بالزاک همینگوی فروید و....دو صفحه از این کتاب سهم پاول اردوش بود و این دو صفحه باعث شد که کتابخانه من با این کتاب مزین شد.عین دو صفحه را اینجا میآورم:
[اردوش ($1966-1913$) از هوشمندترین و پرکارترین ریاضیدانان قرن بیستن بود.همان گونه که پال هافمن در کتابش "مردی که فقط اعداد را دوست میداشت، میگوید، او آدم غیر عادیای هم بود-یک "ریاضیدان ساده زیست" که با دوتا چمدان سر میکرد، لباس کهنه و مندرس میپوشید، و تقربن همۀ پولی را که به دست میآورد میبخشید و مبلغ بخور و نمیری برای خود نگه میداشت. مردی مجرد و ناامید-از-ازدواج که بیاندازه (و شاید خارق العاده) سرسپردۀ مادرش بود و هیچگاه یاد نگرفت چیزی بپزد یا حتا برای چای خود آبجوش درست کند اما خوره کار بود، معمولن روزی نوزده ساعت کار میکرد، و شبها فقط چند ساعت میخوابید.
اردوش شیفتۀ همکاری ژرف و کوتاه مدت با ریاضیدانان دیگر بود، در پی استعدادی جدید به اطراف جهان میرفت و ضمن همکاری در بارۀ فلان مسألۀ ریاضی با آنان، در خانههایشان بیتوته میکرد. یکی از این همکاران اردوش دیداری را در دهۀ 1970 به یاد میآورد:
...او فقط به سه ساعت خواب نیاز داشت. زود از خواب بلند میشد و نامه مینوشت. نامههای مربوط به ریاضیات. در طبقۀ پائین میخوابید. اولین باری که پیش ما ماند، ساعت را اشتباه میزان کرده بود. عقربۀ ساعت هفت را نشان میداد، ولی در واقع چهار و نیم صبح بود. خیال کرد که خب باید بلند شد و مشغول کار شد، این شد که رفت و تلویزیون را روشن و صدا را تا آخر بلند کرد. بعدها که بیشتر با من آشنا شد، کلۀ سحر میآمد و در اتاق خواب را میکوبید، میگفت رالف، بیداری؟" شتابکاری او کشنده بود، دلش میخواست از هشت تا یک و نیم صبح کار کند. البته ما برای غذا خوردن قدری دست از کار میکشیدیم ولی باز هم تمام وقت از ریاضیات صحبت میکردیم و روی دستمال صفره چیز مینوشتیم. اردوش یکی-دو هفته پیش ما ماند ولی ما رو از پا درآورد.
او تاب و توان بیکران خود را از آمفتامین میدانست-هر روز بیست میلیگرم بنزدرین یا ریتالین میخورد. دوستی، که نگران مصرف این همه مخدر بود، با او شرط بست که که نمیتواند یک ماه بدون آمفتامین سر کند. اردوش شرط را پذیرفت و سی روز خماری کشید. وقتی شرط را برد و پول را گرفت، به دوستش گفت: "تو به من معلوم کردی که معتاد نیستم. ولی این مدت نتوانستم هیچ کاری انجام دهم. صبح زود پا میشدم و به برگهای سفید کاغذ خیره میماندم. درست مثل یک فرد عامی، هیچ فکری به مغزم نمیرسید. تو ریاضیات را یک ماه عقب انداختی." شرط بندی که پایان یافت، اردوش فورن عادت مصرف آمفتامین را از سر گرفت، حالا دیگر مصرف اسپرسوی غلیظ و قرصهای کافئین را هم به آن اضافه میکرد. خوشش میآمد بگوید: "ریاضیدان ماشینی است که که قهوه را به قضایای ریاضی تبدیل میکند.]
امیدوارم از این پاراگراف اخیر سوء برداشت نشود.آموختن و آموزش یک مفهوم ساده ریاضی همراه با چاشنی تاریخ ریاضیات و زندگی ریاضیدانان کار را سادهتر و لذتبخشتر میکند.
ریاضیات یکی پایههای اساسی پیشرفت هر کشوری است. زمانی ساخت دانشگاه کازان در روسیه به پیشنهاد اویلر و استقبال پطر کبیر نقطه عطفی در پیشرفت آن کشور شد. تا زمانی زمامداران به این واقف نشوند و برایش گام برندارند پیشرفتی حاصل نمیشود حتی اگر آن کشور تاریخی کهن، ادبیاتی کهن، فرهنگی کهن، هنری کهن، فلسفهای کهن و ... داشته باشد.
یاد اویلر و اردوش و همسفران مریم میرزاخانی که در راه برگذاری مسابقات ریاضی کشوری از میان ما رفتند گرامی باد.!!!
$ \Box $
