یکی از اصول نطریۀ مجموعهها اصل انتخاب است.اصل انتخاب صورتهای مختلفی دارد که با هم همارزند یعنی با فرض یکی و دیگر اصول نطریه مجموعهها دیگری نتیجه میشود. همچنین اصل انتخاب با لم زورن و اصل ماکسیمال هاسدورف و اصل خوش ترتیبی و خاصیت مقایسهپذیری کاردینالها هم ارز است.
تعریف: برای هر خانواده از مجموعهها مانند $S$، هر تابع مانند $ \phi :S\longrightarrow \cup S$ را در صورت وجود یک تابع انتخاب گویند هرگاه داشته باشیم:
$$ \forall s \in S,s \neq \emptyset : \phi (s) \in s$$
تعریف: اگر {$A_ \gamma | \gamma \in \Gamma $} خانوادهای غیرتهی از مجموعههای دلخواه باشد در صورت وجود ضرب دکارتی این خانواده به صورت زیر تعریف میشود:
$\prod _{\gamma \in \Gamma }A_ \gamma:=${$f|f: \Gamma \longrightarrow \cup_{ \gamma \in \Gamma } A_ \gamma ,f( \gamma ) \in A_ \gamma $}
تعریف: مجموعه جزئن مرتب $(X, \leq )$ را خوشترتیب گویند هرگاه هر زیرمجموعۀ غیر تهی آن دارای کوچکترین عضو باشد.
اصل انتخاب (صورت اول): برای هر خانوادۀ غیرتهی از مجموعههای غیرتهی یک تابع انتخاب وجود دارد.
اصل انتخاب (صورت دوم): برای هر افراز از مجموعه دلخواه $S$ مجموعهای از اعضای آن مانند $C$ وجود دارد که به ازاء هر عضو از افراز $S$ مانند $s$، $C \cap s$ دقیقن یک عضو دارد.
اصل انتخاب (صورت سوم): برای هر تابع پوشای $f:X \longrightarrow Y$ یک تابع $g:Y \longrightarrow X$ وجود دارد.
اصل انتخاب (صورت چهارم): برای هر رابطۀ $R$ یک تابع مانند $F$ وجود دارد که: $donF=domR$.
اصل انتخاب (صورت پنجم): برای هر خانواده غیر تهی از مجموعههای غیر تهی مانند {$A_ \gamma | \gamma \in \Gamma $} حاصلضرب دکارتی آنها وجود دارد و داریم:
$$\prod _{\gamma \in \Gamma }A_ \gamma \neq \emptyset $$
اگر این پنج صورت اصل انتخاب را گزاره در نظر بگیریم به سادگی میتوان نشان داد که همگی دوبدو همارزند یعنی با فرض یکی دیگر نتیجه میشود.
پذیرش این پنج صورت به عنوان اصل انتخاب شرگذشت جالبی در نظریۀ مجموعهها دارد.
گزاره اول: اگر $X$ و $Y$ دو مجموعه باشند آنگاه تابعی یک بیک از $X$ به $Y$ وجود دارد یا تابعی یک بیک از $Y$ به $X$ وجود دارد. ( این یعنی هر دو کاردینال مقایسه پذیرند (؟))
گزاره دوم: اگر $(X, \leq )$ یک مجموعه جزئن مرتب باشد که هر زنجیر (زیر مجموعه کلن مرتب) در آن دارای کران بالا باشد آنگاه $X$ دارای عضو ماکسیمال است.
گزاره سوم: اگر $(X, \leq )$ مجموعهای جزئن مرتب باشد و $C$ مجموعۀ تمام زنجیرهای آن باشند آنگاه مجموعۀ جزئن مرتب $(C, \subseteq )$ دارای عضو ماکسیمال است.
گزاره چهارم: هر مجموعه خوشتریب می شود.( یعنی میتوان یک رابطۀ جزئن مرتب مانند $ \leq $ روی آن تعریف کرد که $(X, \leq )$ خوشترتیب باشد.)
این چهار گزاره خود دوبدو و با اصل انتخاب همارزند.
گزاره اول میگوید برای هر دو کاردینال $a$ و $b$ داریم: $a \preceq b$ یا $b \preceq a$. به عبارت دیگر برای هر مجموعۀ دلخواه $X$ اگر $A,B \in X$ و $A \preceq B$ به مفهوم وجود تابعی یک بیک مانند $f:A \longrightarrow B$ باشد آنگاه $(P(X), \preceq )$ زنجیر است.
گزاره دوم به لم زورن $(Zorns Lemma)$ مشهور است. گزاره سوم به اصل ماکسیمال هاوسدورف $(Hausdorff maximality principle)$ مشهور است و گزاره چهارم را اصل خوشترتیبی مینامند. گزاره چهارم به نامی خاص گره نخورده اما مال ارنست تسرملو $(Ernst Zermelo)$ است.
هم ارزی این گزارهها بعضن خیلی واضح و ساده اما در مواردی نیاز به کوشش دارد. من در اینجا دو ایده برای دو تا از اینها ارائه میدهم:
قضیه اول: از اصل انتخاب لم زورن نتیجه می شود.
اثبات: فرض کنید $(X, \leq )$ با شرایط لم زرن باشد و $ \phi :P(X) \longrightarrow X$ تابعی انتخاب باشد که $ \phi ( \emptyset )=x_0$. (این $x_0$ را شما هر طور که دوست دارید می توان انتخاب کرد.(چرا؟))
می گوئیم $A \subseteq X$ یک $-f$ زنجیر است هرگاه زنجیر و هر زیرمجموعۀ غیر تهی آن دارای کوچکترین عضو باشد و:
$$ \forall a \in A: \phi (S_A(a))=a $$
که در آن برای هر $x \in X$ داریم:
$ S(x)=$ {$y \in X|y<x$},$S_A(x)=S(x) \cap A$
برای هر دو $-f$ زنجیر $A$ و $B$ قرار دهید:
$H:=${$x|x \in A \cap B, S_A(x)=S_B(x)$}
به اندازۀ کافی $-f$ زنجیرها وجود دارند.(چرا؟). واضح است (نه زیاد) برای هر $h \in H$ داریم:
$S_A(h)=S_B(h) \subseteq H$
حالا اگر $A-H \neq \emptyset $ و $B-H \neq \emptyset $ و $ \alpha $ و $ \beta $ به ترتیب کوچکترین عضو $A-H$ و $B-H$ باشد باشند (چرا این عضوها موجودند؟) آنگاه داریم:
$$S_A( \alpha )=H=S_B( \beta )$$
$$\Rightarrow \alpha =\phi (S_A( \alpha ))= \phi (H)= \phi (S_B( \beta ))=\beta $$
$$ \Rightarrow \alpha = \beta \in H \subseteq A \cap B \bot $$
بنابراین باید $A-H= \emptyset $ یا $B-H= \emptyset $ و این یعنی $A \subseteq B$ یا $B \subseteq A$.
به کمک پاراگراف اخیر میتوان نشان داد که اگر $C$ اجتماع تمام $-f$ زنجیرهای این اثبات باشد آنگاه $C$ یک $-f$ زنجیر است (؟؟؟؟؟) و کران بالای آن (که وجود دارد) در خود زنجیر است و لذا ماکسیمال است و همان چیزی است که ما دنبالش هستیم.
پس اصل انتخاب لم زورن را نتیجه میدهد.
قضیه دوم: اگر مجموعۀ جزئن مرتب $(X, \leq )$ طوری باشد که هر زنجیرش دارای کوچکترین کران بالا در $X$ باشد و تابع $f:X \longrightarrow X$ طوری باشد که که برای هر $x \in X$ داشته باشیم $x \leq f(x)$ آنگاه:
$$ \exists x_0 \in X: f(x_0)=x_0$$
ایدهای برای اثبات: $a$ را عضوی اختیاری و دلخواه از $X$ بگیرید و تا آخر اثبات بکار گیرید. $Y$ را مجموعهای مطلوب گوئیم هرگاه:
1) $a \in Y$
2) $f(Y) \subseteq Y$
3) کوچکترین کران بالای هر زنجیر غیرتهی در $Y$ متعلق به $Y$ باشد.
به اندازۀ کافی مجموعههای مطلوب وجود دارند (چرا؟). $Y_0$ اشتراک تمام مجموعههای مطلوب این استدلال و
$[a,+ \infty ):=${$x|x \in X,a \leq x$}
مطلوباند و $Y_0 \subseteq [a,+ \infty )$.
حالا تعریف کنید:
$C:=${$x \in Y_0| if:y \in Y_0,y<x \Rightarrow f(x) \leq x $}
$if:x \in C:D_x:=${$z \in Y_0|z \leq x \vee z \geq f(x)$}
به سادگی نشان داده میشود که $C$ و $D_x$ برای هر $x \in C$ مطلوباند. و از آنجا داریم (چطور؟):
$$ \forall x \in C, \forall z \in D: \vee z \leq x \vee x \geq f(x) *$$
(اگر دو حالت با هم باشند چیزی برای اثبات نمیماند). حالا از خاصیت $*$ نتیجه میشود که $Y_0$ زنجیر است و کوچکترین کران بالای آن همان $x_0$ است.
از این قضیه استفاده کنید تا نشان دهید که از اصل انتخاب اصل ماکسیمال هاسدورف نتیجه میشود. به این ترتیب می توان به سادگی نشان داد:
اصل انتخاب $ \Leftarrow $ اصل ماکسیمال هاسدورف $ \Leftarrow $ لم زورن $ \Leftarrow $ گزاره مقایسه کاردینالها $ \Leftarrow $ اصل خوشترتیبی $ \Leftarrow $ اصل انتخاب.
اثبات قضیه اول را من اول بار که دانشجوی سالهای اول دانشگاه بودم در کتاب "مبانی و مقدمات علوم ریاضی" تألیف "دکتر ناصر بروجردیان" از اساتید ریاضی پلی تکنیک دیدم. به نظر خیلی جالب بود و اینکه مال کیه خبری ندارم. اثبات قضیه دوم را همان سالها در کتاب "نطریۀ مجموعهها و کاربردهای آن" تالیف "شووینگتی" دیدم. این ایده در کتاب "نظریه طبیعی مجموعهها" نوشته "پال هالموس" هم است.به نظر میاد از کارهای هاسدورف گرفته شده(؟).
ملاحضات لم زورن بعد از اصل فلیکس هاسدورف در سال $(1922)$ در مقالهای توسط کوراتووسکی منشر شد. اهمیت لم زورن در این است که برای بسیاری از کاربردها در ریاضیات کاملن مناسب است. برای مثال، اثبات این مطلب در جبر خطی که هر فضای برداری پایهای دارد نیازمند شکلی از انتخاب است، و استفاده از لم زورن اینجا راحت است. همچنین در اثبات اینکه در هر حلقۀ یکدار ایدهآلهای ماکسیمال وجود دارند یا در اثبات اینکه در هر گروه، زیرگروههای آبلی ماکسیمال وجود دارند، لم زورن ابزار مناسبی تدارک میبیند. یا اینکه مجموعۀ اعداد طبیعی کوچکترین مجموعه نامتناهی از نظر کاردینالیته است. (چطور؟)
در ابتدای کار بعضی ریاضیدانان به اصل انتخاب معترض بودند بدان سبب که به وجود مجموعهای حکم میکند بدون آنکه مشخص کند دقیقن چه چیزی در آن است. بدین معنا این اصل موضوع کمتر از بقیه "ساختنی" است. رفته رفته این اصل موضوع قبول عام یافته است (دست کم نزد بیشتر ریاضیدانانی که مایلاند منطق کلاسیک را بپذیرند مقبولیت پیدا کرده است). اما، از همان دورانی که کاملن مورد احترام نبود، وجههاش اندکی مخدوش است. نتیجتن این روال بسیار رایج شده است که هر زمان که اصل انتخاب مورد استفاده قرار میگیرد این امر به صراحت ذکر شود. (چنین مراسمی به اصول دیگر تسری نیافته است. اصول موضوعی که وسیعن از آنها استفاده میشود اما به ندرت ذکری از آنها میشود.)
اصل انتخاب برای مجموعههای متناهی واضح است و اصلن نیازی برای استفاده از آن نیست. هنگام کار روی مجموعههای نامتناهی است نیاز به آن حس میشود. برتراند راسل مثال جالبی دارد:
اگر $ \aleph _0$ جفت کفش داشته باشیم، میتوانیم بدون استفاده از اصل موضوع انتخاب از هر جفت یک لنگه برگزینیم. مثلن از هر جفت لنگه راست (چپ) را برگزینیم. اما اگر در همین مثال کفش را با جوراب عوض کنیم باید اصل انتخاب را بکار گیریم زیرا تفاوت تعریفپذیری برای لنگههای جوراب وجود ندارد.
$\Box$
