اتحاد هرمیت

Question

اگر $[]$ تابع جزء صحیح (کف یا براکت) باشد آنگاه برای هر عدد حقیقی $x$ و هر عدد طبیعی $n$ داریم:

$$\sum_{k=0}^{n-1}[x+ \frac{k}{n}]=[x]+[x+ \frac{1}{n} ]+...+[x+ \frac{n-1}{n} ]=[nx]$$

اثبات اول:

$$x=[x]+p(x) \Rightarrow [x+ \frac{k}{n}]=[[x]+p(x)+\frac{k}{n}]=[x]+[p(x)+ \frac{k}{n}]$$

$$,[nx]=[n[x]+np(x)]=n[x]+[np(x)]$$

$$\sum_{k=0}^{n-1}[x+ \frac{k}{n}]=\sum_{k=0}^{n-1}[p(x)+ \frac{k}{n}]+n[x]$$

پس کافیست نشان دهیم:

$$\sum_{k=0}^{n-1}[p(x)+ \frac{k}{n}]=[np(x)]$$

اگر فرض کنید $[np(x)]=m$ آنگاه با توجه به اینکه $0<m<n$، تساوی اخیر ثابت می‌شود.

اثبات دوم: تابع $ \phi :R \longrightarrow R$ را به صورت زیر تعریف کنید:

$$ \phi (x):=\sum_{k=0}^{n-1}[x+ \frac{k}{n}]-[nx]$$

$$ \forall x \in [0, \frac{1}{n}): \phi (x)=n.0-0=0$$

$$\phi(x+ \frac{1}{n})=\sum_{k=0}^{n-1}[x+ \frac{1}{n}+ \frac{k}{n}]-[n(x+ \frac{1}{n})]=\sum_{k=1}^n[x+ \frac{k}{n}]-[nx+1]$$

$$=\sum_{k=1}^{n-1}[x+ \frac{k}{n}]+[x+1]-[nx]-1=\sum_{k=0}^{n-1}[x+ \frac{k}{n}]-[x]+[x]+1-[nx]-1= \phi (x)$$

یعنی تابع فوق بر بازۀ $[0, \frac{1}{n} )$ صفر و تابعی متناوب با یکی از دوره‌های تناوب $ \frac{1}{n} $ است لذا تابع باید صفر باشد.

اثبات دوم را من اولین بار در یکی از کتابهای تیتو آندرسکو دیدم. گویا ایشان در کمیته المیاد ریاضی آمریکا کار می‌کند. کتابهای ارزشمندی دارد. اثباتهای ایشان کوتاه و پر از ظرافت و دقت است. به اشعار رابرت فراس می‌مانند.

این تساوی به اتحاد هرمیت مشهور است.

شارل هرمیت ($Charles Herimite$) ($1901-1822$) از ریاضیدانان بزرگ فرانسه است که زیر نظر کاتالان پرورش یافت. از شاگردان عالی ایشان می‌توان پوانکاره را نام برد.

ایشان سهم مهمی در پیشبرد نظریۀ فرم‌های جبری، نظریۀ حسابی فرم‌های درجۀ دوم، و نظریه‌های توابع بیضوی و توابع آبلی داشت. بیشتر دستاوردهای هرمیت، به‌خصوص راه حل او برای معادلۀ درجۀ پنجم با استفاده از توابع پیمانه‌ای بیضوی، و اثبات او از متعالی بودن عدد $e$، بسیار بدیع و ابتکاری بودند. در دیوز، واقع در ایالت لورن، زاده شد و در اِکول پلی‌تکنیک پاریس درس خواند. در ۱۸۶۹، استاد دانشسرای ‌عالی شد و در ۱۸۷۰، به سوربون رفت. از ۱۸۴۷ تا ۱۸۵۱، در زمینۀ نظریۀ حسابی فرم‌های درجۀ دوم و استفاده از متغیرهای پیوسته تحقیق می‌کرد. سپس، از ۱۸۵۴ تا ۱۹۶۴، به نظریۀ ناورداها پرداخت. در ۱۸۷۳، فرم‌های هرمیتی (تعمیم مختلطی از فرم‌های درجۀ دوم) و چندجمله‌ای‌های هرمیتی را به‌‌دست داد. در همین سال، نشان داد که $e$، پایۀ لگاریتم طبیعی، متعالی است. اعداد متعالی یا غیرجبری عددهایی حقیقی یا مختلط‌اند که ریشۀ معادلۀ جبری نیستند. در ۱۸۷۲ و ۱۸۷۷، معادلۀ دیفرانسیل لامه و در ۱۸۷۸، معادلۀ درجۀ پنجم توابع بیضوی را حل کرد.

یادش زنده و گرامی باد.

$\Box$