اگر $n=n_1+n_2+...+n_k$ شیء داشته باشیم و بخواهیم آنها را به $k$ دسته تقسیم کنیم که هر کدام شامل $n_k$ شیء باشد، و $n_i$ها دوبدو نامساوی باشند، تعداد حالات انجام این کار برابر است با:
$$ \binom{n}{n_1,n_2,...,n_k}:= \frac{n!}{n_1!.n_2!...n_k!} $$
اثبات به کمک استقراء روی $k$ ساده است.
حالا اگر $n$ شیء را به $k$ دسته افراز کنیم که هر عضو این افراز شامل $n_k$ عضو نوع $k$ام باشد، جواب همان است. و اگر در بین این $k$ دسته $s$ تا تعداد برابر شیء داشته باشند مثلن $n_{t_1}=n_{t_2}=...=n_{t_s}$ آنگاه تعداد حالات افراز برابر است با:
$$ \frac{n!}{n_1!.n_2!...n_k!.s!}$$
(چرا؟؟؟).
آزمون کنکور ریاضی $(1404)$:
$10$ نفر به چند طریق میتوانند یکسان در پنج اتاق دو نفره واقع در یک هتل اسکان یابند؟
الف) $189$
ب) $315$
ج) $567$
د) $945$
حل): اگر افراد را شیء بگیریم اسکان افراد در واقع تقسیم آنها به پنج دسته دو نفره است.پس تعداد حالات برابر است با:
$$ \frac{10!}{2!.2!.2!.2!.2!.5!}= \frac{10.9.8.7.6.5!}{2!.2!.2!.2!.2!.5!}= \frac{10.9.8.7.6}{2^5}=5.9.7.3=45.21=945$$
$ \Box $
