در این بلاگ هدف تضمین وجود و تعریف تابع فاکتوریل برای اعداد طبیعی و تعمیم آن است.این کار نیاز به قضیۀ بازگشت دارد.
قضیۀ بازگشت: اگر $A$ یک مجموعۀ غیر تهی دلخواه و $a \in A$ دلخواه و تابع $f:A \longrightarrow A$ نیز دلخواه باشد آنگاه تابعی منحصر بفرد مانند $ \phi :N \longrightarrow N$ موجود است که:
$$ \phi (0)=a, \phi (n^+)= \phi (n+1)=f( \phi (n)) ,n \in N$$
قضیۀ بازگشت (صورت دیگر): اگر $A$ یک مجموعۀ غیر تهی دلخواه و $a \in A$ دلخواه و تابع $f:A \times N \longrightarrow N$ نیز دلخواه باشد آنگاه تابع منحصر بفردی مانند $ \phi :N \longrightarrow A$ موجود است که:
$$ \phi (0)=a, \phi (n^+)= \phi (n+1)=f(\phi(n),n),n \in N$$
حالا قرار دهید:
$$A:=N , a:=1 ,f:N \times N \longrightarrow N,f(m,n):=mn^+=m(n+1)$$
لذا تابعی منحصر بفرد مانند $ \phi :N \longrightarrow N$ موجود است که:
$$ \phi (0)=1, \phi (n+1)= \phi (n)(n+1),n \in N$$
این تابع منحصر بفرد در واقع همان تابع فاکتوریل است یا می توان فاکتوریل را چنین تعریف کرد:
$$ !:N \longrightarrow N$$
$$n!:= \phi (n) $$
حالا سوال این است که آیا فاکتوریل برای اعدادی دیگر غیر از اعداد طبیعی تعریف شده است؟ بله این سوال را ریاضیدان بزرگ دانیل برنولی جواب داد. به کمک تابع گاما:
$$ \Gamma (z):= \int _0^ \infty t^{z-1}e^{-t}dt,Re(z)>0$$
بعدها اویلر نشان داد که این انتگرال برای تمام صفحۀ مختلط بجز نقاط صحیح منفی و صفر موجود و تابع تحلیلی است.
$$\Gamma (z):= \frac{ \Gamma (z+n)}{z(z+1)(z+2)...(z+n-1)},n \in N,-n<Re(z)<-n+1 $$
حالا توجه کنید که در دامنۀ تابع داریم:
$$ \Gamma(z+1)=z \Gamma (z)$$
و این همان خواص فاکتوریل برای اعداد طبیعی است. پس منطقی است فاکتوریل را برای اعداد مختلط بجز اعداد صحیح منفی و صفر به شکل زیر تعریف کنیم:
$$z!:= \Gamma (z+1)$$
سوال دیگر این است که آیا فاکتوریل برای کاردینالها هم قابل تعریف است؟ برای جواب این سوال توجه کنید که برای هر عدد طبیعی $n$ در واقع $n!$ همان تعداد توابع یک بیک و پوشا از یک مجموعۀ $n$ عضوی به روی خودش است. پس اگر $ \kappa $ کاردینال یک مجموعۀ دلخواه مانند $K$ و $S(K)$ مجموعۀ تمام توابع یک بیک و پوشا از $K$ به $K$ (این مجموعه وجود دارد) باشد میتوان فاکتوریلش را به صورت زیر تعریف کرد:
$$ \kappa !:=cardS(K)$$
به راحتی و به کمک خواص توابع می توان نشان داد که این تعریف منطقی (خوشتعریف) است و اگر $ \kappa \in N$ تعریف همان تعریف برای اعداد طبیعی است.
$\Box$
