در این بلاگ هدف معرفی گوشهای از کوشش و (شاید نبوغ) رامانوجان به وسیلۀ سری زیر است:
$$(\frac{1}{1}+\frac{1}{1 \times 3}+\frac{1}{1 \times 3 \times 5}+...)+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{2}{1+ \frac{3}{...}}}}= \sqrt{ \frac{\pi e}{2}}$$
سری:
$$\frac{x}{1}+\frac{x^3}{1 \times 3}+\frac{x^5}{1 \times 3 \times 5}+...$$
همواره همگراست (چرا؟) و اگر مقدار آن را با $f(x)$ نشان دهیم با کمی عملیات در سری داریم:
$$f'(x)=xf(x)+1$$
این یک معادله دیفرانسیل مرتبه اول است که با حل در حالت همگن و تعین یک ضریب تابعی مناسب به راحتی می توان نشان داد که:
$$f(x)=e^{\frac{x^2}{2}}\int_0^xe^{- \frac{t^2}{2}}dt$$
حالا اگر تعریف کنیم:
$$g(x):=e^{\frac{x^2}{2}}\int_x^ \infty e^{- \frac{t^2}{2}}dt$$
برای این دو تابع داریم:
$$1)f(x)+g(x)=e^{\frac{x^2}{2}}\int_0^ \infty e^{-\frac{t^2}{2}}dt=e^{\frac{x^2}{2}}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$
$$2)f'(x)=xe^{\frac{x^2}{2}}\int_0^ \infty e^{-\frac{t^2}{2}}dt+e^{\frac{x^2}{2}}.e^{-\frac{x^2}{2}}=xf(x)+1$$
$$3) f'(x)+g'(x)=xe^{\frac{x^2}{2}}\sqrt{\frac{\pi}{2}}=x(f(x)+g(x)) \Rightarrow g'(x)=xg(x)-1$$
و اگر در رابطه $(3)$ از طرفین مشتق بگیریم و این کار را ادامه دهیم به سادگی می بینیم که:
$$g= \frac{1}{x- \frac{g'}{g}}= \frac{1}{x+\frac{1}{x- \frac{g''}{g'}}}= \frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{2}{...}}}$$
$$ \Rightarrow (\frac{x}{1}+\frac{x^3}{1 \times 3}+\frac{x^5}{1 \times 3 \times 5}+...)+\frac{1}{x+\frac{1}{x+\frac{2}{...}}}=e^{\frac{x^2}{2}}\sqrt{\frac{\pi}{2}}$$
حالا اگر قرار دهیم $x=1$ داریم:
$$(\frac{1}{1}+\frac{1}{1 \times 3}+\frac{1}{1 \times 3 \times 5}+...)+ \frac{1}{1+ \frac{1}{1+ \frac{2}{1+ \frac{3}{...}}}}= \sqrt{ \frac{\pi e}{2}}$$
$\Box$
به نظر من این یکی از زیباترین دستاوردهای ریاضیات است. یک کسر مسلسل و یک سری با جملات گویا و دو تا از زیباترین اعداد موجود در طبیعت زیر کوه زیبای المپ ریاضیات (رادیکال) یعنی پای و نپر. این در واقع به قول یکی از ریاضیدانان (؟) ملاقات رامانوجان و نپر و کسانیست که روی عدد پای کار کردهاند. این کوشش باید یکی دو صفحه از کتاب "کتاب اثبات" پاول اردوش را مزین کند.آیا کسانی که چنین دستاوردها را در خدمت جنگ میگیرند ذرهای به این همه زیبایی واقفند.؟!!!.
یاد رامانوجان و نپر و ... گرامی و زنده باد.
