قضیۀ فیثاغورث برای حالت سه بعدی (چهار وجهی):
اگر یک چهار وجهی داشته باشیم که در یک رأس یالها (وجهها) دوبدو بر هم عمود باشند آنگاه مربع مساحت وجهی که از رأس شامل زاویۀ قائمه نمیگذرد برابر است با مجموع مربعات مساحتهای سه وجه دیگر.
اثبات: میتوان شکلی را در دستگاه دکارتی سه بعدی طوری در نظر گرفت که رأسهایی که دوبدو بر هم عمودند در مبدء $O(0,0,0)$ باشد و رأسهای دیگر روی نقاط:
$$A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c)$$
با این توضیحات باید نشان دهیم:
$$S^2_{ABC}=S^2_{OAB}+S^2_{OBC}+S^2_{OCA}$$
واضح است که:
$$S_{OAB}= \frac{1}{2}\overline{OA}.\overline{OB}$$
$$=\frac{1}{2}\sqrt{(a-0)^2+(0-0)^2+(0-0)^2}.\sqrt{a(0-0)^2+(b-0)^2+(0-0)^2}$$
$$=\frac{1}{2} \sqrt{a^2}.\sqrt{b^2}= \frac{1}{2}ab$$
به دلیل مشابه:
$$S_{OBC}=\frac{1}{2}bc,S_{OCA}=\frac{1}{2}ca$$
از طرفی دیگر بنابه قضیۀ فیثاغورث داریم:
$$ x^2:=\overline{AB}^2= \overline{OA}^2+ \overline{OB}^2=a^2+b^2$$
و به دلیل مشابه:
$$y^2:= \overline{BC}^2=b^2+c^2,z^2:= \overline{CA}^2=c^2+a^2$$
حالا به کمک فرمول زیبای هرون مساحت مثلث $ABC$ را که در صفحۀ گذرنده از نقاط $B,A$ و $C$ قرار دارد به دست میآوریم:
$$P= \frac{x+y+z}{2},S^2_{ABC}=P(P-x)(P-y)(P-z)$$
$$16S^2_{ABC}=2P(2P-2x)(2P-2y)(2P-2z)$$
$$=(x+y+z)(-x+y+z)(x-y+z)(x+y-z)$$
$$=((y+z)^2-x^2)((x^2-(y-z)^2)$$
$$(y^2+z^2+2yz-x^2)(x^2-y^2-z^2+2yz) $$
$$=(b^2+c^2+c^2+a^2+2yz-a^2-b^2)(a^2+b^2-b^2-c^2-c^2-a^2+2yz)$$
$$=(2c^2+2yz)(-2c^2+2yz)$$
$$=4(yz+c^2)(yz-c^2)$$
$$=4(y^2z^2-c^4)$$
$$=4((c^2+b^2)(c^2+a^2)-c^2)$$
$$=4(c^4+(a^2+b^2)c^2+a^2b^2-c^4)$$
$$=4(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$$
$$=16(\frac{a^2b^2}{4}+\frac{b^2c^2}{4}+\frac{c^2b^2}{4})$$
$$=16(S^2_{OAB}+S^2_{OBC}+S^2_{OCA})$$
$$ \Rightarrow S^2_{ABC}=S^2_{OAB}+S^2_{OBC}+S^2_{OCA}$$
$\Box$
