اتحاد اویلر برای اعداد حقیقی (مختلط) $b,a$ و $c$ داریم:
$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$
$$=\frac{1}{2}(a+b+c)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)$$
اثبات اول:پرانتزهای طرف راست را ضرب و ساده کنید تا به طرف چپ برسید.
اثبات دوم (به کمک چند جملهایها): قرار دهید:
$$P(x):=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc$$
چون $c,b,a$ ریشههای این چندجملهای است یا به عبارت دیگر $P(a)=P(b)=P(c)=0$ پس داریم:
$$a^3-(a+b+c)a^2+(ab+bc+ca)a-abc=0$$
$$b^3-(a+b+c)b^2+(ab+bc+ca)b-abc=0$$
$$c^3-(a+b+c)c^2+(ab+bc+ca)c-abc=0$$
از جمع طرفین این سه تا تساوی داریم:
$$a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)(a+b+c)$$
$$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$$
اثبات سوم به کمک دترمینانها: فرض کنید که $A$ ماتریسی باشد سه در سه که سطر اول آن $a,b,c$، سطر دوم آن $b,c,a$ و سطر سوم آن $c,a,b$ باشد و $|A|$ دترمینان این ماتریس:
$$|A|=a| \begin{bmatrix}a & b \\c & a \end{bmatrix} |-b| \begin{bmatrix}c & b \\b & a \end{bmatrix} |+c| \begin{bmatrix}c & a \\b & c \end{bmatrix}$$
$$=a(a^2-bc)-b(ca-b^2)+c(c^2-ab)=a^3+b^3+c^3-3abc$$
از طرفی دیگر اگر در ماتریس فوق سطر دوم و سوم را به سطر اول اضافه کنیم مقدار دترمینان تغییر نمیکندو اگر $B$ ماتریسی باشد که سطر اول آن $1,1,1$ و سطر دوم آن $b,c,a$ و سطر سوم آن $c,a,b$ باشد داریم:
$$a^3+b^3+c^3-3abc=|A|=(-1)^3(a+b+c).|B|$$
$$=(-1)^3(a+b+c)(1 |\begin{bmatrix}c & a \\a & b \end{bmatrix}| - 1|\begin{bmatrix}b & a \\c & b \end{bmatrix}|+1|\begin{bmatrix}b & c \\c & a \end{bmatrix}|$$
$$=-(a+b+c)(bc-a^2-(b^2-ca)+ab-c^2)$$
$$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab+bc+ca)$$
نتیجه:
$$1) if:a+b+c=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc$$
$$2) if a,b,c\geq 0 (a+b+c \geq 0) \Rightarrow a^3+b^3+c^3 \geq 3abc( \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc})$$
کاربرد: نشان دهید عدد $ \sqrt[3]{2+\sqrt[]{5}}+ \sqrt[3]{2-\sqrt[]{5}} $ گویا است.
$$x:=\sqrt[3]{2+\sqrt[]{5}}+ \sqrt[3]{2-\sqrt[]{5}} \Rightarrow x+(-\sqrt[3]{2+\sqrt[]{5}})+(-\sqrt[3]{2-\sqrt[]{5}})=0$$
$$ \Rightarrow x^3+(-\sqrt[3]{2+\sqrt[]{5}})^3+(-\sqrt[3]{2-\sqrt[]{5}})^3=3x(\sqrt[3]{2+\sqrt[]{5}}). (\sqrt[3]{2-\sqrt[]{5}})$$
$$ \Rightarrow x^3-2-\sqrt{5}-2+\sqrt{5}=3x \sqrt[3]{4-5}$$
$$ \Rightarrow x^3-4=-3x$$
$$ \Rightarrow x^3+3x-4=0$$
$$ \Rightarrow (x-1)(x^2+x+4)=0$$
متوجه می شویم که عدد فوق ریشۀ معادلۀ درجه سوم اخیر است که عددی حقیقی است.اما این معادله یک ریشه حقیقی برابر $1$ دارد و دو ریشه مختلط. پس باید $ \sqrt[3]{2+\sqrt[]{5}}+ \sqrt[3]{2-\sqrt[]{5}} =1$ و این یعنی عدد داده شده گویاست.
$\Box$
