مسابقه ریاضی استرالیا و دکتر شهنی کرم زاده

Question

مسأله (مسابقه ریاضی استرالیا 1987):

تمام جوابهای ناصفر صحیح معادلۀ $ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{n}{a+b} $ را بیابید.

راه حل اول:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{n}{a+b} \Rightarrow \frac{b+a}{ab}= \frac{n}{a+b} \Rightarrow (a+b)^2=nab \Rightarrow a^2+(2-n)ba+b^2=0$$

اگر تساوی اخیر را یک معادلۀ درجه دوم بر حسب $a$ در نظر بگیریم داریم:

$$a= \frac{(n-2)b^+_-b \sqrt{n^2-4n}}{2} $$

واضح است برای اینکه $a$ صحیح باشد لازم است که $n^2-4n$ مربع کامل یک عدد حسابی باشد. اگر این عدد حسابی را $m$ بنامیم داریم:

$$n^2-4n=m^2 \Rightarrow n^2-4n+4-m^2=4 \Rightarrow (n-2)^2-m^2=4$$

$$ \Rightarrow (n-m)(n+m)=4=1 \times 2(?) \Rightarrow n=4(?)$$

$$ \Rightarrow a^2-2ab+b^2=0 \Rightarrow (a-b)^2=0 \Rightarrow a=b$$

پس جواب معادله به صورت $(a,b,n)=(s,s,4)$ است که $s$ هر عدد صحیح غیر صفر است.

راه حل دوم:

لم: فرض کنید $\frac{a}{b}$ یک کسر تحویل ناپذیر گویا باشد یعنی $(a,b)=1$. اگر $ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab} $ عددی صحیح باشد آنگاه $a=b=1$.

اثبات:

$$ab|(a^2+b^2),a|ab,a|a^2 \Rightarrow a|(a^2+b^2-a^2)=b^2 \Rightarrow a|b(?) \Rightarrow a=b=1(?)$$

حالا حل مسأله:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{n}{a+b} \Rightarrow \frac{b+a}{ab}= \frac{n}{a+b} \Rightarrow \frac{(a+b)^2}{ab} =n$$

$$ \Rightarrow \frac{a^2+b^2+2ab}{ab} =n \Rightarrow \frac{a}{b}+ \frac{b}{a} =n-2$$

حالا اگر $(a,b)=1$ آنگاه جواب مسأله $(1,1,4)$ و اگر $(a,b)=s \neq 1$ جواب مسأله $,(-s,-s,4)(s,s,4)$ است.

این مسأله در کتاب:

$T. Tao, Solving Mathematical Problems: A Personal Perspective, Oxford University Press, 2018.$

آمده است.

ترنس تائو نابغه و ریاضی دان چینی تبار متولد استرالیا است که به موتزارت ریاضی نیز معروف است. او سه سال پیاپی در المپیاد جهانی ریاضی مدال گرفته است. در ۱۳ سالگی مدال برنز، در ۱۴ سالگی مدال نقره ودر ۱۵ سالگی مدال طلای المپیاد جهانی راکسب نمود. او در ۲۴ سالگی به مقام استادی دانشگاه کالیفرنیا در لس آنجلس رسیده است و برندۀ جایزۀ فیلدز در سال ۲۰۰۶ و همین طوربرندۀ جایزۀ نقدی 3 میلیون دلاری است. تائو به توصیۀ تونی گاردنر 4 سرپرست تیم المپیاد ریاضی انگلستان (هم زمان با سرپرستی تیم المپیاد ریاضی ایران توسط پروفسور امیدعلی شهنی کرم زاده بود.

راه حل اول مال تائو است و راه حل دوم مال پروفسور کرم زاده.

بر گرفته از سخنرانی پروفسور امیدعلی شهنی کرم زاده در شانزدهمین کنفرانس آموزشریاضی ایران (مازندران⁃بابلسر)

در این بلاگ هدف حل این مسأله نیست بلکه ستایش دو ایده حل از دو بینش عمیق به ریاضیست. من روش کرم زاده را بیشتر شتایش برانگیز می‌دانم. با آرزوی عمری طولانی سرشار از سلامتی و ریاضی برای هر دو.

$\Box$