اگر $z,y,x$ سه عدد حقیقی باشند که:
$$0<x,y,z<1,x+y+z=2$$
آنگاه داریم:
$$8(1-x)(1-y)(1-z) \leq xyz$$
اثبات به کمک هندسه: اگر $r$ و $R$ به ترتیب شعاع دایرهای محاطی و محیطی مثلی با اضلاع $c,b,a$ و نصف محیط $P$ و مساحت $S$ و $d$ فاصله بین مراکز این دایرهها باشد آنگاه $r= \frac{S}{P} $ و $R= \frac{abc}{4S} $ و بنا به فرمول اویلر داریم:
$$d^2=R(R-2r)=R^2-2rR \Rightarrow R \geq 2r$$
حالا برای سه عدد حقیقی داده شده در فرض تعریف کنید:
$$a:=1,b:= \frac{y}{x},C:= \frac{z}{x}$$
این اعداد تعریف شده تشکیل مثلث می دهند (چرا؟) و برای این مثلث داریم:
$$P= \frac{1+ \frac{y}{x}+\frac{z}{x}}{2}= \frac{x+y+z}{2x}= \frac{2}{2x}=\frac{1}{x}$$
$$,S^2=P(P-a)(P-b)(P-c)= \frac{1}{x}( \frac{1}{x} -1)( \frac{1}{x} - \frac{y}{x} )( \frac{1}{x} - \frac{z}{x} )$$
$$= \frac{(1-x)(1-y)(1-z)}{x^4} $$
از طرفی دیگر بنابه فرمول اویلر داریم:
$$R^2 \geq 2r \Rightarrow \frac{abc}{4S} \geq \frac{2S}{P} \Rightarrow 8S^2 \leq abcP$$
$$ \Rightarrow \frac{8(1-x)(1-y)(1-z)}{x^4} \leq 1. \frac{y}{x} . \frac{z}{x} . \frac{1}{x}= \frac{yz}{x^3} $$
$$ \Rightarrow 8(1-x)(1-y)(1-z) \leq xyz$$
تعمیم:
اگر برای $n$ عدد حقیقی $x_n,...,x_2,x_1$ داشته باشیم:
$$0<x_1,x_2,...,x_n<1,x_1+x_2+...+x_n=n-1$$
آنگاه داریم:
$$(n-1)^n(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_n)=(n-1)^n\prod_{k=1}^n(1-x_k)\leq \prod_{k=1}^nx_k=x_1x_2...x_n$$
اثبات: برای هر $k$ که $1 \leq k \leq n$ از نامساوی هندسی حسابی داریم:
$$ \sqrt[n-1]{\prod_{1 \leq i \leq n,i \neq k}(1-x_i)} \leq \frac{ \sum_{1 \leq i \leq n,i \neq k}(1-x_i)}{n}= \frac{n-1-\sum_{1 \leq i \leq n,i \neq k}x_i}{n-1}$$
$$= \frac{n-1-(n-1-x_k)}{n-1}= \frac{x_k}{n-1} $$
حالا اگر این $n$ نامساوی را در هم ضرب کنیم داریم:
$$(n-1)^n(1-x_1)(1-x_2)...(1-x_n)=(n-1)^n\prod_{k=1}^n(1-x_k)\leq \prod_{k=1}^nx_k=x_1x_2...x_n$$
$\Box$
اثبات نامساوی و تعمیم آن و اثبات تعمیم آن از زنده یاد احمد شرف الدین است.
دکتر احمد شرف الدین استاد و مدرس درس آموزش ریاضی در دانشگاه هرمزگان بود. وی تحصیلات ابتدایی را در مدریه بدر و تحصیلات متوسطه را در دبیرستانهای علمیه و البرز تهران و تحصیلات دوره ی لیسانس ریاضی را دردانشکده تهران گذراند و پس از چندین سال تدریس ریاضی در دبیرستانها ،مشغول خدمت در وزارت فرهنگ و آموزش عالی در سمت کارشناس علمی و عضو کمیته ی تخصصی شورای پژوهشهای علمی کشورمان گردید و در کنار آن به تدریس در چند دانشگاه پرداخت و پس از چند سال برای تحصیلات دوره ی دکتری به فرانسه عزیمت نمود .
ایشان در شرح مختصری از زندگی خود می گوید : " در سال آخر دبیرستان موفق به ابداع چند حکم در هندسه شدم . یکی از آنها حکمی درباره چند ضلعیهای منتظم بود که تعمیقی از قضیه استورم است . در آن هنگام از قضیه استورم هیچ اطلاعی نداشتم و کارهای خود را به چند تن ارائه نمودم . با کمال تاسف هیچکدام نگفتند که اطلاع کافی ندارند و اظهار نظرهای غیر عادلانه کردند .
در چهارمین سال تدریس ،قصد تالیف کتابی در هندسه داشتم . برای بررسی بیشتر نزد شادروان دکتر محسن هشترودی رفتم و قصد خود را با وی مطرح کردم و ضمناً احکامی را که چند سال پیش ابداع کرده بودم با چند کار جدیدتر را به ایشان ارائه نمودم . ایشان تازگی بعضی از آنها را تایید نمودند و حکمی را که درباره چند ضلعیهای منتظم ابداع کرده بودم را تعمیقی از قضیه ی استورم دانستند و قضیه ی استورم را برای من شرح دادند . ایشان مرا بسیار تشویق کردند و اقداماتی برای ادامه ی تحصیل من مبذول داشتند . با کمال تاسف مشکلات اداری (! ) مانعی بزرگ در مقابل تحقق عنایت ایشان شد .
مشوق دیگر من استاد ارجمند احمد آرام بودند . ایشان آثار علمی دیگران ر ابا خوش قلبی بسیار می ستایید . توجه ایشان در خدمت علمی به میهن به حدی بود که هنگامی که فرزند خود را از دست دادند ،بی درنگ به ترجمه ی یک کتاب علمی با ارزش که مورد علاقه فرزندش یود ،پرداختند تا بدینسان یاد او را گرامی بدارند .....
آثاری که از دکتر شرف الدین عرضه شده عبارتند از :
1- طرح یک ماشین حساب آنالوژیک برای حل معادلات جبری و کاربرد آن در حل مسائلی از معادلات جبری که ضرایب آنها به پارامترهایی بستگی دارد . این طرح در سال 1352 در مجله ارگان انجمن بین المللی حساب آنالوژیک به چاپ رسید .
2- طرح یک خط کش حساب برای حل معادله ی درجه سوم که در سال 1362 شرح آن از طریق انتشارات سازمان پژوهشهای علمی و صنعتی ایران چاپ گردید .
3- طرح یک دستگاه دیجیتال با خاصیت اکثریت ودر پی آن قضیه های جدیدی در جبر بول عنوان " مدل پایه ها و طیف توابع بول" که تز دکترای ایشان به زبان فرانسه بود .
4- ابداع روشی برای حل معادله ی درجه چهارم در سال 1350 که در مجله تخصصی به چاپ رسید .
5- در سال 1353 به ترجمه ی کتابی بنام " مقدمه ای بر جبر بول و کاربرد آن در زنجیره های اتصالها " پرداخت .
6- کتاب پژوهشهایی در ریاضیات را نیز در همان سال تالیف نمود .
7- هندسه دلپذیر ها از انتشارات رشد .
اطلاعات کمی از زندگی ایشان در دسترس است. یادش زنده و گرامی باد.
