در این بلاگ منظور از دنباله $(x)$ دنباله اعداد نامنفی $(x_n)_{n=1}^ \infty =(x_1,x_2,...,x_n)$ است. دنبالۀ مثبت دنبالهای است که تمام جملات آن مثبتاند و اگر $p$ عددی حقیقی و مشخص باشد $(p)$ دنباله ای با جملات ثابت $p$ است و اگر $(x_n)$ و $(y_n)$ دو دنباله باشند منظور از دنباله های $(x+y)$ و $(xy)$ چنین است:
$$(x)^p:=(x_1^p,x_2^p,...,x_n^p),p(x):=(px_1,px_2,...,px_n)$$
$$(x+y):=(x_1+y_1,x_2y_2,...,x_n+y_n),(xy):=(x_1y_1,x_2y_2,...,x_ny_n)$$
تعاریف: برای دنباله $(a)$ و دنباله مثبت $(p)$ و عدد حقیقی $r$ تعاریف زیر را داریم:
$$A(a,p):= \frac{p_1a_1+p_2a_2+...+p_na_n}{p_1+p_2+...+p_n} $$
$$G(a,p):=(a_1{^p_1}a_2^{p_2}...a_n^{p_n})^ \frac{1}{p_1+p_2+...+p_n}$$
$$A(a):=A(a,1),G(a):=G(a,1)$$
$$H(a):= \frac{n}{ \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} +...+ \frac{1}{a_n} } , \prod_{i=1}^na_i \neq 0$$
$$M_r(a,p):=\begin{cases}( \frac{p_1a_1^r+p_2a_2^r+...+p_na_n^r}{p_1+p_2+...+p_n} )^ \frac{1}{r} & (r>0) \vee (r<0,\prod_{i=1}^na_i \neq 0)\\G(a,p) & r=0\end{cases} $$
$$S_r(a):=( \sum_{i=1}^na_i^r)^ \frac{1}{r} $$
در این تعاریف خواصی مستتر است مثلن: $M_1(a,1)=A(a)$. می توان این خواص را کشف کرد.
معمولن $A(a)$ و $G(a)$ و $M_r(a,p)$ را به ترتیب میانگین عددی هندسی و وزندار میگویند.
بنابه اصل استقراء قهقرا (اگر حکمی برای تعدادی نامتناهی عدد طبیعی درست باشد و از درستی $n$ درستی $n-1$ را بتوان نتیجه گرفت حکم برای هر عدد طبیعی درست است.) روی $n$ می توان نشان داد که $G(a) \leq A(a)$ و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر $(a)$ دنبالهای ثابت باشد.
( حکم را اول برای توانهای طبیعی $2$ اثبات کنید و دنباله $(a_1,a_2,...,a_{n-1},\frac{a_1+a_2+...+a_{n-1}}{n-1})$ را بکار بگیرید.)
از این حالت خاص می توان استفاده کرد و نشان داد که: $G(a,p) \leq A(a,p)$ و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر $(a)$ دنبالهای ثابت باشد. برای این کار اول در حالت خاص $p_1+p_2+...+p_n=1$ این کار را انجام می دهیم یعنی:
$$a_1^{p_1}a_2^{p_2}...a_n^{p_n} \leq p_1a_1+p_2a_2+...+p_na_n*$$
بعد با استفاد از آن حکم را برای دنباله $ \frac{1}{p_1+p_2+...+p_n} (p)$ بکار می بریم. برای حالت خاص هم اول فرض کنید که $p_i$ها گویا هستند و سپس در حالت کلی که هر عدد حد یک دنباله گویاست برای هر عدد حکم ثابت می شود.
نتایج این نامساوی:
01) اگر $ \alpha + \beta =1, \alpha , \beta >0$ و $a,b \geq 0$ آنگاه:
$a^ \alpha b^ \beta \leq \alpha a+ \beta b$
و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر $a=b$.
02) و اگر $ \frac{1}{p} + \frac{1}{q} =1,p,q>0$ و در نامساوی اخیر به جای $a$ و $b$ به ترتیب $a^p$ و $b^q$ را بکار بگیریم داریم:
$$ab \leq \frac{a}{p} + \frac{b}{q} $$
و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر $a^p=b^q$ یا $a=b^{p-1}$
03) اگر $0< \alpha < \beta , x>0$ داریم:
$$(1+ \frac{x}{ \alpha } )^ \alpha <(1+ \frac{x}{ \beta } )^ \beta $$
اگر بجز شرایط بالا هم داشته باشیم $x< \alpha $ آنگاه:
$$(1- \frac{x}{\alpha })^{- \alpha}>(1- \frac{x}{ \beta }){-\beta}$$
(کافیست نتیجه $2$ را برای $p:= \frac{ \alpha }{ \beta } $ و $a:=1+ \frac{x}{ \alpha } $ و $b:=1$ بکار ببرید).
04) اگر $0< \alpha < \beta ,0<x \neq 1$ آنگاه داریم:
$$ \beta (x^ \frac{1}{ \beta } -1)< \alpha (x^ \frac{1}{ \alpha } -1)$$
(کافیست در نتیجه $3$ قرار دهیم: $x:=\alpha (x^ \frac{1}{ \alpha } -1))$ ).
05) اگر $x,y>0,x \neq y$ و $r \neq 0$ آنگاه داریم:
$$rx^{r-1}(x-y)<x^r-y^r<ry^{r-1}(x-y) , 0<r<1$$
$$rx^{r-1}(x-y)>x^r-y^r>ry^{r-1}(x-y) , r>1 \vee r<0$$
(نتیجه $1$ است).
06) (نامساوی برنولی) اگر $1+x \geq 0$ آنگاه:
$$(1+x)^ \alpha \geq 1+ \alpha x, \alpha \geq 1$$
$$(1+x)^ \alpha \leq 1+ \alpha x, \alpha , 0< \alpha <1 \vee \alpha <0$$
در حالت اول تساوی برقرار است اگر و تنها اگر $x=0$ یا $ \alpha =1$. ( نتیجه $1$ است). معمولن این نامساوی را نامساوی برنولی میگویند ( یا در حالت $\alpha$ عددی طبیعی باشد).
07) برای $m$ دنباله $(l),...(b),(a)$ و $m$ عدد $ \ \ \ \ \lambda ,..., \beta , \alpha $ که $ \alpha + \beta +...+ \lambda =1$ داریم:
$$ \sum_{i-1}^na_i^\alpha b_i^ \beta ...l_i^ \lambda \leq (\sum_{i=1}^na_i)^ \alpha ( \sum_{i=1}^nb_i)^ \beta ...(\sum_{i=1}^nl_i)^ \lambda $$
تساوی برقرار است اگر و تنها اگر دنباله ها دوبدو متناسب باشند یا حداق یکی از آنها ثابت صفر باشد.
(برای اثبات قرار دهید:
$$A:=\sum_{i=1}^na_i,B:=\sum_{i=1}^nb_i,...,L:=\sum_{i=1}^nl_i$$
و $*$ را برای دنبالههای $( \frac{a_i}{A} , \frac{b_i}{B} ,..., \frac{l_i}{L} )$ که $1 \leq i \leq n$ بکار ببرید و همه را با هم جمع کنید).
08) با شرایط نتیجه $7$ و دنباله مثبت $(p)$ که $p_1+p_2+...+p_n=1$ داریم:
$$G(a,p)+G(b,p)+...+G(l,p) \leq G(a+b+...+l,p)$$
09) با شرایط $7$ و برای عدد حقیقی مثبت $r$ داریم:
$$M_r(ab...l,p) \leq M_ \frac{r}{ \alpha } (a,p)M_ \frac{r}{ \beta } (b,p)...M_ \frac{r}{ \lambda } (l,p)$$
(برای اثبات کافیست $7$ را برای دنباله های $ \frac{1}{p} (p)(a)^ \frac{r}{\alpha} $ و $\frac{1}{p} (p)(b)^ \frac{r}{\beta}$ و...و$\frac{1}{p} (p)(l)^ \frac{r}{\lambda}$ به کار ببرید که در آن $p=p_1+p_2+...+p_n$ ).
تعریف: اگر $k$ عددی حقیقی و مخالف $1$ باشد آنگاه مزدوج آن را که با $k'$ نشان میدهیم به صورت $k':= \frac{k}{k-1} $ تعریف میکنیم. واضح است اگر $k$ صفر هم نباشد داریم: $ \frac{1}{k} + \frac{1}{k'} =1$.
10) (نامساوی هولدر): اگر $k>1$ با مزدوج $k'$ باشد برای دو دنباله $(a)$ و $(b)$ داریم:
$$ \sum_{i=1}^na_ib_i \leq (\sum_{i=1}^na_i^k)^ \frac{1}{k}.(\sum_{i=1}^nb_i^{k'})^ \frac{1}{k'} $$
تساوی برقرار است اگر و تنها اگر $(a)^k$ و $(b)^{k"}$ متناسب باشند یا یکی از دنبالهها صفر باشد.
و اگر $0 \neq k<1$ آنگاه جهت نامساوی عکس میشود. تساوی برقرار است اگر و تنها اگر دنباله $(ab)$ ثابت صفر باشد یا $a^k$ و $b^{k'}$ متناسب باشند.
(حالت خاص $7$ است. برای اثبات قسمت عکس دنبالههای $(u):=(ab)^k$ و $(v):=(b)^{-k}$ را بکار بگیرید. بعضی خود $7$ را نامساوی هولدر مینامند).
نتیجه $10$ را می توان اینچنین بیان کرد: اگر $k$ عددی حقیقی غیر از $1$ و $0$ باشد آنگاه:
$$(\sum_{i=1}^na_ib_i)^{kk'}\leq (\sum_{i=1}^na_i^k)^{k'}.(\sum_{i=1}^nb_i^{k'})^k$$
11) در نتیجه $10$ اگر $k=2$ آنگاه $k'=2$ و لذا داریم:
$$( \sum_{i=1}^na_ib_i)^2 \leq (\sum_{i=1}^na_i^2)(\sum_{i=1}^nb_i^2)$$
( به این نامساوی نامساوی کوشی میگویند).
12) اگر $r>0$ آنگاه داریم:
$$M_r(a,p) \leq M_{2r}(a,p)$$
( کافیست $11$ برا برای دنباله های $(p)^ \frac{1}{2} $ و $(p)^ \frac{1}{2} (a)^r$ بکار ببرید).
13) اگر $r<s$ آنگاه داریم:
$$M_r(a,r) \leq M_s(a,p)$$
تساوی را داریم اگر و تنها اگر $(a)$ ثابت یا $s=0$ و یکی از $a_i$ها صفر باشد.
( برای اثبات در حالت $0<r<s$ دنباله های $(u):=(pa^s)$ و $(v):=(p)$ و $ \alpha := \frac{r}{s} $ را برای $7$ بکار ببرید. اگر $r=0$ و یکی از $a_i$ها صفر باشد حکم بدیهیست و اگر هیچ کدام از $a_i$ صفر نباشند داریم:
$$[M_0(a,p)]^s=[G(a,p)]^s=G(a^p,s) \leq A(a^s,p)=[M_s(a,p)]^s$$
و اگر $r<s<o$ و $r<s=0$ به حالات قبلی برگردید).
14) اگر $0<r<s<t$ آنگاه داریم:
$$[M_s(a,p)]^s \leq ([M_r(a,p)]^r)^ \frac{t-s}{t-r}.([M_t(a,p)]^t)^ \frac{s-r}{t-r}$$
و به نمادی دیگر:
$$[S_s(a)]^s \leq ([S_r(a)]^r)^ \frac{t-s}{t-r}.([S_t(a)]^t)^ \frac{s-r}{t-r}$$
و تساوی برقرار است اگر و تنها اگر $a_i$هایی که صفر نیستند با هم برابر باشند.
( برای اثبات قرار دهید:
$$ \alpha := \frac{t-s}{t-r} ,(q):=\frac{1}{p_1+p_2+...+p_n} (p)$$
و $7$ را برای دنبالههای $(q)$ و $(a)^s$ بکار ببرید).
15) (نامساوی ینسن): اگر $0<r<s$ آنگاه داریم:
$$S_s(a) \leq S_r(a)$$
تساوی برقرار است اگر و تنها اگر حداکثر یکی از $a_i$ها مخالف صفر باشد.
( برای اثبات کافیست اول نامساوی را در حالت خاص $ \sum_{i=1}^na_i^r=1$ ثابت کنیم).
16) اگر در $7$ شرط $\alpha + \beta +...+ \lambda =1$ را به $\alpha + \beta +...+ \lambda >1$ تغییر دهیم باز هم حکم درست است.
تساوی برقرار است اگر و تنها اگر یکی از دنبالهها ثابت صفر یا در هر دنباله حداکثر یک عدد غیر صفر باشد.
(برای اثبات قرار دهید:
$$r:= \alpha + \beta +...+ \lambda , (\alpha', \beta ',..., \lambda')= \frac{1}{r} ( \alpha , \beta ,..., \lambda ) $$
$$,(A):=(a)^r,(B):=(b)^r,...,(L):=(l)^r$$
و $7$ را بکار گیرید).
17) (نامساوی مینکوفسکی) اگر $r \neq 1$ آنگاه داریم:
$$M_r(a,p)+M_r(b,p)+...+M_r(l,p) \geq M_r(a+b+...+l,p),r>1$$
$$M_r(a,p)+M_r(b,p)+...+M_r(l,p) \leq M_r(a+b+...+l,p),r<1$$
تساوی برقرار است اگر و تنها اگر دنبالهها دوبدو متناسب باشند یا $r=0$ و برای یکی از $i$ها داشته باشیم $a_i=b_i=...=l_i$.
(بعضیها حالتی که $(p)=(1)$ را نامساوی مینکوفسکی گویند.)
$\Box$
ادامه در بلاگ $2$.....
