18) اگر $r>0$ و $r \neq 1$ داریم:
$$ \sum_{i=1}^n(a_i+b_i+...+l_i)^r \geq \sum_{i=1}^na_i^r+\sum_{i=1}^nb_i^r+...+\sum_{i=1}^nl_i^r,r>1$$
$$ \sum_{i=1}^n(a_i+b_i+...+l_i)^r \leq \sum_{i=1}^na_i^r+\sum_{i=1}^nb_i^r+...+\sum_{i=1}^nl_i^r,0<r<1$$
تساوی برقرار است اگر و تنها اگر برای هر $1 \leq i \leq n$ حداثر یک جمله از دنباله $(a_i,b_i,...,l_i)$ ناصفر باشد.
( نتیجه نامساوی ینسن است).
تعریف: اگر $r$ عددی حقیقی و $r>1$ آنگاه $ \rho $ چنین تعریف می شود:
$$ \rho =\begin{cases}1 & 0<r \leq 1\\ \frac{1}{r} & r>1\end{cases} $$
19) بنابه تعریف اخیر داریم:
$$(\sum_{i=1}^n(a_i+b_i+...+l_i)^r)^ \rho \leq (\sum_{i=1}^na_i^r)^ \rho +(\sum_{i=1}^nb_i^r)^ \rho +...+(\sum_{i=1}^nl_i^r)^ \rho$$
20) (نامساوی چبی چف): اگر دنبالههای داده شده همه صعودی (نزولی) باشند آنگاه داریم:
$$M_r(a,p).M_r(b,p)...M_r(l,p) \leq M_r(ab...l,p)$$
و اگر دنباله ها دوتا باشند و یکی صعودی و دیگری نزولی آنگاه جهت نامساوی برعکس است.
تساوی برقرار است اگر و تنها اگر حداقل یکی از دنبالهها ثابت باشد.
( برای اثبات کافیست حکم را برای $r=1$ ثابت کنید(؟)).
مواردی چند در استفاده نامساویها:
01) اگر $x+y+z=1$ آنگاه:
$$(1+ \frac{1}{x} )(1+ \frac{1}{y} )(1+ \frac{1}{z} ) \geq 64$$
(شرط لازم و گافی را برای تساوی را بررسی کنید.).
01) اگر $r \geq 1$ فضای برداری $(R^n,d)$ و $(C^n,d)$ (حقیقی و مختلط) متریک است که در آن:
$$d((x_1,x_2,...,x_n),(y_1,y_2,...,y_n))= (\sum_{i=1}^n||x_i-y_i||^r)^ \frac{1}{r} $$
03) اگر $r>1$ آنگاه داریم:
$$(\frac{ \sum_{i=1}^na_i}{n})^r \leq \frac{\sum_{i=1}^na_i^r}{n} $$
و اگر $0<r<1$ نامساوی برعکس میشود( شرط لازم و کافی برای تساوی را بررسی کنید.).
04) اگر $n$ عددی طبیعی و $n>1$ آنپاه داریم:
$$2.4.6....(2n)<(n+1)^n$$
05) اگر $a$ و $b$ دو عدد حقیقی غیر منفی باشند داریم:
$$ \sqrt[n]{ab^n} \leq \frac{a+nb}{n+1} $$
( شرط لازم و کافی برای تساوی را بررسی کنید.).
06) برای دنباله مثبت $(a)$ و $n>1$ داریم:
$$ \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} +...+ \frac{a_n}{a_1} \geq n$$
( شرط لازم و کافی برای تساوی چیست؟).
07) اگر $x>0$ و $x \neq 1$ آنگاه داریم:
$$1- \frac{1}{x} <Logx<x-1$$
$$,2(1- \frac{1}{ \sqrt{x} } )<Logx<2( \sqrt{x} -1)$$
08) اگر $a$ و $b$ دو عدد مثبت باشند داریم:
$$ab \leq aLoga+e^{b-1}$$
( شرط لازم و کافی تساوی چیست؟).
09) اگر $p$ عددی حقیقی و غیر منفی باشدهمواره داریم:
$$\prod_{i=1}^n(p+a_i) \geq (p+G(a))^n$$
$$, \prod_{i=1}^n(1+a_i) \leq \sum_{i=1}^n \frac{(nA(a))^i}{i!} $$
(نامساوی اول نامساوی هویگنس نام دارد.)
$\Box$
راه ساده تر برای بیان و معرفی این همه نامساوی زیبا به کمک معرفی توابع محدب در آنالیز است. البته من این روش را می پسندم. یکی از دلایل نیاز به نامساویها حین مطالعه و تکامل آنالیز بوده . حالا اگر به کمک آنالیز نامساوی ها را بررسی و اثبات کنیم ایراد ندارد اما با مفاهیم ابتدایی در حد خواص میدان مرتب اعداد حقیقی ارزشمندتر و جالبتر است. در جایی پاول اردوش قضیهای را در نظریه اعداد ثابت کرده بود(؟) ( به کمک نظریه اعداد ) که ریاضیدانان دیگر از راه توابع مختلط انجام داده بودند. صرفن خواسته بود ارزش راه خود را در قلههای بلند ریاضیات نشان دهد.
این دو بلاگ مدام ویرایش میشه. من در تایپ ضعیفم. امیدوارم که مفید باشد و کسانی که در این تور هستند در صورت نیاز بی نیاز گردند.
زمانی هیلبرت در ستایش کانتور گفته بود هیچ کس نمی تواند ما را از بهشتی که کانتور برایمان آفریده است بیرون کند.
من میگم همه ریاضیدانان، تالس اقلیدس هویگنس خوارزمی کاردانو نیوتون گاوس اویلر هولدر مینکوفسکی شوارتز پئانو کانتور وایرشتراس دریکله لاگرانژ الکساندر گروتندیک گریشا پرلمان مریم میرضاخانی کوچر بیرکار و ... معماران بهشت علمند. تغافل از تماشا ( حداقل) ی این معماری خسران است.
