اگر $p$ عدد اولی باشد آنگاه $(p-1)! \equiv -1(mod p)$.
ادوارد وارینگ ($Edward Waring$) ریاضیدان انگلیسی ($1741-1793$) در سال $1770$ در تأملات جبری ($Meditationes Algebraticae$) اش تعدادی گزاره جدید ارائه کرد.مهمترین آنها ویژگی جالبی از اعداد اول است که آن را یکی از دانشجویان سابقش ویلسون ($Wilson$) نامی، با وی در میان گذاشته بود.ویژگی مزبور این است: اگر $p$ عدد اولی باشد آنگاه $(p-1)! \equiv -1(mod p)$. ظاهرن ویلسون این ویژگی را بر اساس محاسبات عددی حدس زده بود ولی به هر حال نه خود ویلسن و نه استادش وارینگ نتوانستند درستی آن را اثبات یا رد کنند. وارینگ با اعتراف به ناتوانیش در ارائه اثبات، خاطرنشان کرد که: «اثبات قضیههایی از این نوع به دلیل فقدان نماد، برای نمایش عددهای اول مشکل است.»(گاوس به محض اطلاع از این نظر، اظهار نمود «مفهوم نه نماد») و منظورش این بود که در اینگونه مسألهها مفهوم است که واقعن اهمیت دارد نه نماد.اندکی بعد در سال $1771$، بر خلاف پیشبینی ناامید کننده وارنیگ، لاگرانژ ویژگی فوق را که اکنون به (قضیه ویلسون) شناخته شده است همراه با درستی معکوسش ثابت کرد.شاید منصفانهتر می بود که این قضیه به نام لایبنیتس نامگذاری میشد زیرا بر اساس شواهدی، وی حداقل یک سده پیشتر بر این نتیجه واقف بود، ولی چیزی دربارۀ آن منتشر نکرده بود.
اثبات لاگرانژ برای قضیه و معکوسش که بر اساس جواب معادلات همنهشتی خطی است در هر کتاب نظریۀ اعداد از مبتدی گرفته تا پیشرفته موجود است.
اثبات به کمک تئوری گروهها:
1) اگر در گروهی آبلی و متناهی با عضو خنثی $e$ فقط تعدادی عضو مانند $x,y,...z$ موجود باشند که $x^2=y^2=...=e$ آنگاه حاصل عمل بقیۀ اعضای آن گروه $e$ است. (چرا؟)
حالا توجه کنید که $(Z_p,.)$ که $p$ عددی اول است شرط گزاره اخیر را دارد.در واقع فقط $ \overline{1} ^2= \overline{p-1} ^2= \overline{1} $ (چرا؟) پس:
$$ \overline{2} . \overline{3} ... \overline{p-2} = \overline{1} $$
$$ \Rightarrow (p-2)! \equiv 1(modp)$$
$$ \Rightarrow (p-1)! \equiv -1(modp)$$
2) به راحتی می توان نشان داد که برای عدد اول $p$، $P$ یک $p$-زیرگروه سیلو (زیلوف) از $S_p$ (گروه جایگشتهای $p$ عضوی) است اگر و تنها اگر دوری به طول $p$ مانند $ \sigma $ موجود باشد که:
$$P=< \sigma >$$
حالا چون $(p-1)!$ دور به طول $p$ در $S_p$ وجود دارد (چرا؟) و هر $p$-زیرگروه سیلو حاوی $p-1$ تا از این دورها است (چرا؟) بنابه کوشش و نبوغ سیلو اگر $n_p$ تعداد $p$-زیرگروه سیلو های یک گروه باشد داریم:
$$n_p \equiv 1(modp)$$
$$ \Rightarrow (p-2)!=\frac{(p-1)!}{p-1}\equiv -1(modp)$$
$$ \Rightarrow (p-1)! \equiv -1(modp)$$
توجه: اگر $G$ یک گروه متناهی و $|G|=p^nm,(p,m)=1$ منظور از $p$-زیرگروه سیلو زیرگروهی از $G$ مانند $P$ است که $|P|=p^n$.
فلیکس کلاین میگوید:
""ریاضیات عالیترین دستآورد فکری و اصیلترین ابداع ذهن آدمی است. موسیقی میتواند روح را برانگیزد و نوازش دهد یا آرام سازد، شعر میتواند عواطف را تحریک کند، فلسفه میتواند ذهن را قانع و راضی سازد، مهندسی میتواند زندگی مادی آدمی را بهبود بخشد. اما ریاضیات میتواند همۀ این ارزشها را عرضه کند.""
من میگویم ریاضیات علاوه به موارد یاد شده در فرموده کلاین نهایت زیبایی است. خود زیبایی است.هم آموزش و هم یادگیری آن نهایت لذتیست که میتوان چشید.
منابع:
1) نظریه مقدماتی اعداد دیوید ام. برتن.
2)آشنایی با نظریه گروه ها و حلقهها دکتر علیرضا نقیپور.
3) فلسفه ریاضی ( کلاسیک، مدرن، پست مدرن ) دکتر محمدصال مصلحیان.
$\Box$
