فرض کنید مثلث $ABC$ با مختصات $A(x_1,y_1)$ و $B(x_2,y_2)$ و $C(x_3,y_3)$ و $ \overline{AB} =c$ و $ \overline{AC} =b$ و $ \overline{BC} =a$ در صفحه داده شده باشد. اگر $G$ و $I$ و $H$ و $O$ و ($I_a$) به ترتیب نقاط همرسی میانهها نیمسازها ارتفاعها و عمود منصفها و (نیمساز داخلی $A$ و خارجی $B$ و $C$ با ضلع مشترک $BC$) باشد آنگاه به کمک خواص فضای برداری و نسبتهای مثلثاتی داریم:
$$G=\frac{1}{3}(A+B+C)$$
$$I= \frac{aA+bB+cC}{a+b+c} $$
$$H= \frac{tan( \angle A)A+tan( \angle B)B+tan( \angle C)C}{tan( \angle A)+tan( \angle B)+tan( \angle C)} $$
$$O= \frac{sin( \angle 2A)A+sin( \angle 2B)B+sin( \angle 2C)C}{sin( \angle 2A)+sin( \angle 2B)+sin( \angle 2C)} $$
$$I_a= \frac{-aA+bB+cC}{-a+b+c},I_b= \frac{aA-bB+cC}{a-b+c},I_a= \frac{aA+bB-cC}{a+b-c},$$
توجه شود که جمع و ضربها در فضای برداری $R^2$ روی $R$ است یعنی:
$$A+B=(x_1,y_1)+(x_2,y_2):=(x_1+x_2,y_1+y_2)$$
$$,aA=a(x_1,y_1):=(ax_1,ay_1)$$
و نتایج برای فضای برداری $R^n$ روی $R$ نیز درست است.
ریاضیات عالیترین دستآورد و مخلوق بشر است.
$\Box$
