چند تابع دوسویی مانند $f:N_6 \longrightarrow N_6$ وجود دارد که: $f^3=I$؟ ($I$ تابع همانی است.)
روش اول برای سطح دبیرستان:
تابع همانی یکی از این توابع است. اگر $f$ همانی نباشد اعدادی مانند $i$ و $j$ که $1 \leq i,j \leq 6,i \neq j$ وجود دارند که:
$$f(i)=j$$
حالا توجه کنید که $f(j) \neq i$ و $f(j) \neq j$ (چرا؟) بنابر این $f(j)=k$ که: $1\leq k \leq 6$ و $k\neq i$ و $k\neq j$. حالا اگر فرض کنیم $f(k)
:=s$ داریم:
$$s=f(k)=f(f(j))=f(f(f(i)))=i$$
حالا سه عضو دیگر یا نقاط ثابتند یا به شیوه بالا $f$ رویشان عمل میکند پس تعداد این توابع برابر است با:
$$1+ \binom{6}{3}.(3-1)!.1+\binom{6}{3}.(3-1)!\binom{3}{3}.(3-1)!=1+40+40=81$$
روش دوم برای سطح بالا به کمک جایگشتها:
در $S_n$ هر جایگشت غیر همانی را میتوان به صورت حاصلضرب جایگشتهای مجزا نوشت پس برای غیر همانی $f$ داریم:
$$f=f_1f_2...f_n,o(f)=[o(f_1),o(f_2),...o(f(n)]=3$$
$$ \Rightarrow \forall 1 \leq i \leq n:o(f_i)|3$$
$$ \Rightarrow \forall 1 \leq i \leq n:o(f_i)1 \vee 3$$
$$\Rightarrow f=(a,b,c) \vee (a,b,c)(s,r,t)$$
پس تعداد $f$ها برابر است با:
$$1+ \binom{6}{3}.(3-1)!.1+\binom{6}{3}.(3-1)!\binom{3}{3}.(3-1)!=1+40+40=81$$
$\Box$
