در این بلاگ هدف معرفی چند خاصیت عدد زیبای $9$ است. بعضی از این خاصیتها ساده و ابتدایی اند اما بعضی سخت و نتیجه سالها تفکر ریاضیدانان بزرگ مانند اردوش است و بعضی هم در حد حدساند.
$$1 \times 9+2=11$$
$$12 \times 9+3=111$$
$$123 \times 9+4=1111$$
$$1234 \times 9+5=11111$$
$$12345 \times 9+6=111111$$
$$123456 \times 9+7=1111111$$
$$1234567 \times 9+8=11111111$$
$$12345678 \times 9+9=111111111$$
$$123456789 \times 9+10=1111111111$$
$$*****$$
$$123456789 \times 1\times9 =111111111$$
$$123456789 \times 2\times9 =222222222$$
$$123456789 \times 3\times9 =333333333$$
$$123456789 \times 4\times9 =444444444$$
$$123456789 \times 5\times9 =555555555$$
$$123456789 \times 6\times9 =666666666$$
$$123456789 \times 7\times9 =777777777$$
$$123456789 \times 8\times9 =888888888$$
$$123456789 \times 9\times9 =999999999$$
$$*****$$
$$10^0+10^1+...+10^n= \frac{10^{n+1}-1}{9}=111...1= \frac{999...9}{9} =(n+1 tim)$$
صورتی از حدس گلدباخ: هر عدد بزرگتر یا مساوی $9$ را میتوان به صورت مجموع سه عدد اول فرد نشان داد.
$$*****$$
یک عدد طبیعی مانند $n$ را در نظر بگیرید و ارقام آن را جمع کنید و دوباره ارقام عدد حاصل را جمع کنید و این روند را تا جایی که تنها یک رقم باقی بماند ادامه دهید. رقم باقی مانده را ریشۀ رقمی $(Digital Root)$ عدد $n$ می نامیم. ریشۀ رقمی هر عدد صحیح موقعیتی است که آن عدد نسبت به آخرین مضرب $9$ کوچکتر از خود دارد. برای مثال ریشۀ رقمی $2035$ ، عدد $1$ است که به این معناست که $2034$ مضرب $9$ است. گزار ههای زیر را راجع به $9$ و ریشۀ رقمی یک عدد، میتوان بیان کرد:
اگر هر عددی را با $9$ یا مضربی از $9$ جمع کنید مجموع ارقام آن یا به عبارت دقیقتر ریشۀ رقمی آن تغییر نمی کند. برای مثال مجموع ارقام $15$ ، شش است و مجموع ارقام $15+9=24 $، نیز شش است. اگر مجموع ارقام هر عدد طبیعی را از خود عدد کم کنیم، حاصل همیشه مضربی از $9$ است. برای مثال $23-5=18$. اگر عددی بر $9$ بخش پذیر باشد، هر جایگشتی از ارقام عدد آن نیز بر $9$ بخشپذیر است. اگر عددی بر $9$ بخشپذیر باشد، با گذاشتن هر تعداد رقم $0$ یا $9$، تغییری در ریشۀ رقمی آن
ایجاد نمی شود، برای مثال $72$ و $7009002$ ریشه رقمی یکسانی دارند. هر عدد دو رقمی که رقم یکان آن $9$ است، برابر است با مجموع حاصل ضرب ارقام و مجموع ارقام آن، مثلن $29=2 \times 9+(2+9)$.
$$*****$$
برای هر عدد طبیعی $n$ داریم:
$$ \frac{n}{9}=c. \overline{d}$$
مثلن:
$$ \frac{5}{9}=0. \overline{5}, \frac{134}{9}=14. \overline{8}, \frac{67}{9} =7. \overline{4}$$
در واقع قسمت اعشاری همان ریشه رقمی است صورت است.(؟)
$$*****$$
سیستم اعداد دارای ویژگی های جالب و شگفت انگیزی است. پیدا کردن و کشف این زیباییها و الگوها بسیار دلچسپ است. برای مثال عدد سه رقمی $512$ برابر است با مجموع ارقام آن به توان سه یعنی $512=(5+1+2)^3=8^3$. اولین عددی که این ویژگی را دارد$81$ است که مجموع ارقام آن $9$ است.چند مثال دیگر:
$$4913=(4+9+1+3)^3=17^3,5832=(5+8+3+2)^3=18^3,17576,19683$$
$$*****$$
دو عدد که حاصلضرب و حاصلجمع آنها مقلوب یک دیگر
باشند، تفنن جالبی است. عدد $9$ اولین عدد با این خاصیت است: $9+9=18$ و $9 \times 9=81$ که مقلوب یکدیگرند. چند مثال دیگر:
$$(3,24),(2,47),(2,497)$$
$$*****$$
عدد چرخهای $(cyclic number)$ عددی است که اگر در اعداد $2,3,4,5,6$ ضرب شود حاصل یک جایگشت چرخهای از آن عدد باشد. کوچکترین عدد چرخهای $142857$ است:
$$142857 \times 3=428571$$
حالا این تابلوی زیبا را ببینید:
$$\frac{1}{7}=\overline{142857}, 142857 \times 7=999999$$
$$14+28+57=99,142+857=999,1428+2857+5714=9999$$
$$*****$$
اگر عدد اولی غیر از $2$ و $5$ عددی ساخته با تمام ارقام $9$ را بشمارد آنگاه هر عدد ساخته شده با ارقام $9$ که تعداد ارقام آن مضربی از تعداد ارقام عدد فوق باشد را میشمارد مثلن:
$$37|999,37|999999,37|999999999,...$$
$$*****$$
$$0^1+1^2+2^3+...+8^9$$
عددی اول است.
$$*****$$
جمع $9$ عدد اول متوالی مربع کامل است.
$$*****$$
تمام ارقام عدد اول $2 \times 10^{3020}-1$ بجز یک مورد که $1$ است بقیه $9$ اند.
$$*****$$
نهمین عدد در دنباله فیبوناتجی به اضافه $9$ عددی اول است.
$$*****$$
عدد $9$ تنها جواب معادله $ \pi ( \pi (x)!)=x$ است.($ \pi (x)$ یعنی تعداد اعداد اول نابیشتر از $x$.)
$$*****$$
کوچکترین عدد مرکبی مانند $n$ که $2^n-n$ و $2^n+n$ هردو اول باشند $9$ است.
$$*****$$
تنها عدد شناخته شده مانند $n$ که $2^n-n^2$ و $2^n+n^2$ هر دو اول باشند $9$ است.(مال چند سال پیش است!)
$$*****$$
نه ضلعی منتظم تنها $n$ ضلعی منتظم است که $n^n+ \frac{180(n-2)}{n} $ و $n+ (\frac{180(n-2)}{n})^n$ هر دو اولند. ( به اندازه زاویه داخلی چند ضلعی بر حسب درجه توجه شود.)
$$*****$$
اگر $S_n$ مساحت $n$ضلعی منتظم به طول ضلع $a$ باشد داریم:
$$S_9= \frac{9}{4}a^2cot \frac{\pi}{9} $$
$$*****$$
عدد $9999$ بر عدد اول $101$ بخش پذیر است ولی عدد اول قبل از $101$ ، یعنی $97$ عامل اولی برای عددی که مرکب از $96$ تا $9$ است، می باشد. عدد اول $271| 99999$ ولی عدد اول قبل از آن یعنی $269$، به $268$ تا $9$ نیاز دارد. عدد اول $4649|9999999$، ولی عدد اول بعد از آن یعنی $4651$ به $4650$ تا $9$ نیازدارد. فقط $10$ تا $9$ نیاز است که عدد اول $9091$ عامل آن باشد ولی عدد اول بعد یعنی $9103$ به $9102$ تا $9$ نیاز دارد.
$$*****$$
$$10112359550561797752808988764044943820224719 \times 9$$
$$=910112359550561797752808988764044943820224719$$
یاد کاپرکار ریاضیدان هندی که عمری عاشق و کاربر اعداد بود گرامی باد.
$\Box$
