هندسه تاریخ و سرگذشتی طولانی و جذاب دارد. و به گواه تاریخ علاوه بر یونانیان تمدنهای کهن دیگر مانند بابلیها آشوریها مصری ها هندی ها چینی هاو... نیز از آن اطلاع داشته اند. هندسه در آغاز علمی تجربی بوده و از چند قاعده برای سنجش و مساحی استفاده می شده.خیلیها بر این باورند که یونانیها بودند هندسه را از تجربه رهانیدند و آن را اصولمند کردند و با استدلالات منطقی آراستند. این کار توسط تالس آغاز شد. ایشان اولین کسی بود که گفت احکام هندسی باید از طریق استنتاجهای منطقی اثبات شوند نه تجربه و با این کار اولین هندسه منطقی را بنیان نهاد. کارهای وی توسط فیثاغورثیان ادامه یافت و سپس بقراط هندسۀ منطقی تالس را کامل ساخت. افلاطون بود که به هندسه عشق ورزید و بر سر آکادمی خود نوشت: ""هر کس هندسه نمیداند وارد نشود."". شاید بزرگترین منت افلاطون بر هندسه، تربیت نابغۀ بزرگ تاریخ بشریت اقلیدس باشد. اقلیدس اولین کسی بود که هندسه حاصل از کوشش تالس تا زمان خود را در کتابی 13 رسالهای بنام اصول اقلیدس سروسامان بخشید و هندسه را بر اساس اصول موضوع بنا نهاد که امروزه این شیوه روش ساختاری تقریبن تمام علوم است. کارهای اقلیدس ایرادهای زیادی دارد و این ایرادها بیشتر به خاطر عدم درک کامل اقلیدس از این روش بوده است. اقلیدس دریافت که هز چیزی را نمی توان ثابت کردو باید احکامی را مفروض دانست. هر تلاش برای اثبات همه این احکام به دور یا تسلسل میانجامد و این اساس روش اصول موضوعی است. وی نخستین کسی است که این روش را یافت گرچه درک کاملی از آن را نداشت و به تمام زیباییها و تواناییهایش پی نبرد اما خود کشف روش دلیلی است که ایشان را بزرگترین ریاضیدان تمام دورانها بخوانند.
روش اصل موضوعی از سه بخش تشکیل شده است:
اختیار چند مفهوم به نام (مفاهیم اولیه) یا (اصطلاحات تعریف نشده).
مفروض داشتن چند حکم به نام (اصول موضوع).
انتخاب یک ( دستگاه منطقی) برای استنتاج قضایا از اصول موضوعو احکام اثبات شده.
اقلیدس بخش 1 را نادیده گرفت و همه مفاهیم را تعریف کرد مثلن گفت:نقطه آن است که جزء ندارد. ولی بخش 2 را رعایت کرد و در بخش 3 به خاطر نبود دستگاه منتطقی در آن زمان به عقل سلیم پناه برد و با عقل سلیمش حدود 465 حکم را در کتاب اصولش ثابت کرد که گرچه این احکام امروزه برقرارند اما ایرادهایی در لابلای استدلالهایش به چشم می خورد.
اصول متعارف اقلیدس:
هر دو شیء کا شیء سومی قابل انتطباق باشند خود قابل انطباقاند.
اگر مقادیر مساوی به مقادیر مساوی افزوده شود، مجموعها مساویند.
اگر مقادیر مساوی از مقادیر مساوی کم شود، تفاضلها مساویاند.
هر شیء بر خودش قابل انطباق است.
کل از هر جزء خود بزرگتر است.
اصول موضوع اقلیدس:
به ازای هر دو نقطۀ متمایز $A$ و $B$ یک و تنها یک خط راست وجود دارد که که از $A$ و $B$ میگذرد. این خط را با $ \widetilde{AB} $ نشان میدهیم و آن را خط نظیر دو نقطۀ $A$ و $B$ مینامیم.
به ازای هر دو پارهخط $AB$ و $CD$ یک و تنها یک نقطه مانند $E$ وجود دارد که $D$ بین $C$ و $E$ بوده $AB$ بر $DE$ قابل انطباق است. $(AB \cong DE)$
به ازای هر دو نقطۀ متمایز $A$ و $B$ دایره ای به مرکز $A$ و شعاع $AB$ وجود دارد.
تمام زاویههی قائمه دوبدو با هم قابل انطباقاند.
هر موربی دو خط راست را طوری قطع کند که مجموع اندازۀ زاویههای درونی حادث در یک طرف مورب از حیث درجه از 180 درجه کمتر باشد، آنگاه این دو خط یکدیگر را در همان طرف مورب قطع میکنند.
این هندسه ( هندسه اقلیدس ) قرنها بر تاریخ ریاضی سایه افکنده بود و در این قرنها توسط ریاضیدان سیقل داده شد. خیلیها قرنها به دنبال اثبات گزاره (اصول) توازی ( از هر نقطه خارج یک خط فقط خطی موازی آن خط می توان خارج کرد) ناکام ماندند. خیلی ها به این هندسه عشق ورزیدند و خیلی هم نفرت. برتراند راسل گفت: در ارزش گذاری کتاب اصول اقلیدس به عنوان یک شاهکار منطقی سخت مبالغه شده است.
زمانی که دیوید هیلبرت ریاضیدان آلمانی پا به عرصه ریاضیات گذاشت اقلیس را به خاطر ساخت روشش ستود . گفت باید همین روش را به کار گرفت و نواقصش را بر طرف کرد و آن را آراست.
هندسه به سبک هیلبرت:
هیلبرت از مفاهیم تعریف نشده شروع میکند. مفاهیم تعریف نشده هیلبرت عبارتند از : نقطه، خط، وقوع، بینیت و قابل انتطباق. و اگر هندسه فضایی باشد همچنین صفحه. بعد تمام مفاهیم را بر اساس این تعریف نشدهها و اصول تعریف میکند مثلن: در هندسه مسطحه صفحه را مجموعۀ تمام نقاط و خطوط گرفته و می گوییم همۀ نقاط و خطوط بر این صفحه واقعند. یا مثلن پاره خط $AB$ عبارت است از مجموعۀ تمام نقاط بین $A$ و $B$ و نقاط $A$ و $B$ از خط مشخص شده توسط نقاط $A$ و $B$ و مثلن دو خط را موازی گویند هرگاه در هیچ نقطهای مشترک نباشند. و $A.B.C$ یعنی $B$ بین $A$ و $C$ است.
اصول پایه هندسه هیلبرت:
به ازای هر دو نقطۀ متمایز $A$ و $B$ یک و تنها یک خط وجود دارد که از $A$ و $B$ میگذرد. این خط را با $ \widetilde{AB} $ نشان میدهیم و آن را خط نظیر دو نقطۀ $A$ و $B$ یا پارهخط $AB$ مینامیم. ( این همان اصل اول اقلیدس است.)
بر هر خط دست کم دو نقطه قرار دارند.
دست کم سه نقطه وجود دارند که هر سه همزمان بر یک خط واقع نیستند.
هندسه ساخته شده از تعریف نشدهها و این سه اصل را هندسه پایه مینامند. این سه اصل استقلال دارند.
مدلهای هندسه پایه:
الف. نقاط را مجموعه سه حروف $A$ و $B$ و $C$ و خطوط را زیر مجموعههای دو عضوی نقاط.
ب. نقاط را مجموعه چهار عضوی حروف $A$ و $B$ و $C$ و $D$ بگیرید و خطوط را زیرمجموعههای دو عضوی نقاط.
ج. نقاط را مجموعه پنج عضوی حروف $A$ و $B$ و $C$ و $D$ و $E$ بگیرید و خطوط را زیرمجموعههای دو عضوی نقاط.
در رابطه با توازی سه خاصیت زیر قابل بیان است:
خاصیت توازی بیضوی: از یک نقطۀ غیر واقع بر یک خط هیچ خطی به موازات خط اول نمیگذرد.
خاصیت توازی اقلیدسی: از یک نقطۀ غیر واقع بر یک خط دقیقن یک خط به موازات خط اول میگذرد.
خاصیت توازی هذلولوی: از یک نقطۀ غیر واقع بر بیش از یک خط یک خط به موازات خط اول میگذرد.
خاصیت 1 در مدل الف برقرار است و خاصیت 2 در مدل ب و خاصیت 3 در مدل ج. و این نشان میدهد که هندسه پایه تام نیست. هندسهای ( یک دستگاه اصول موضوعی ) را تام گویند هر گاه هر گزاره بیان شده در آن قابل اثبات یا انکار باشد. خاصیت توازی که در هندسه پایه قابل بیان است در مدل الف قابل اثبات نیست و در مدل ب قابل انکار نیست.
تام نبودن هندسه پایه هیلبرت را به این فکر فرو میبرد که باید اصول را توسیع داد:
اصول بینیت هیلبرت:
ا. هرگاه $A.B.C$ آنگاه $A$ و $B$ و $C$ دو به دو متمایزند و روی یک خط واقعند و $C.B.A$.
دو نقطۀ $A$ و $B$ مفروضاند.در این صورت نقاطی مانند $C,D,E$ موجودند که:
$$A.C.B,A.B.D,E.A.B$$
اگر نقاط $A$ و $B$ و $C$ همزمان بر یک خط واقع باشند آنگاه یکی و فقط یکی از آنها بین دو تای دیگر است.
(اصل جداسازی صفحه):
الف) هرگاه $A$ و $B$ در یک طرف خط $l$ و $B$ و $C$ نیز در یک طرف خط $l$ باشند آنگاه $A$ و $C$ نیز در یک طرف خط $l$ قرار دارند.
ب) الف) هرگاه $A$ و $B$ در دو طرف خط $l$ و $B$ و $C$ نیز در دو طرف خط $l$ باشند آنگاه $A$ و $C$ نیز در یک طرف خط $l$ قرار دارند.
سعی کنیم بفهمیم که این سه اصول چه چیزهای بدیهی هندسه اقلیدسی را بیان میکنند. همان چیزهایی را که اقلیدس محصول عقل سلیم نامید.
با وجود این اصول باز هم هنسه ما هنوز تام نیست. اصول قابلیت انطباق را ببینید:
ق : هرگاه $A$ و $B$ دو نقطۀ متمایز باشند و $A'$ یک نقطۀ دلخواه دیگر ، آنگاه به ازای هر نیمخط مانند $r$ که از $A'$ صادر شده است یک و فقط یک نقطه مانند $B'$ بر $r$ وجود دارد که $A' \neq B'$ و $AB \cong A'B'$.
ق : هر دو پاره خط قابل انطباق با پاره خط سوم خود قابل انطباقاند و هر پاره خط بر خودش قابل انطباق است.
ق : (جمع پاره خطها) هر گاه $A.B.C$ و $A'.B'.C'$ و $AB \cong A'B'$ و $BC \cong B'C'$ آنگاه
$$AC \cong A'C'$$
ق: هرگاه زاویۀ $ \angle BAC$ و نیمخط دلخواه $ \overrightarrow{A'B'} $ صادر شده از $A'$ را داشته باشیم آنگاه در هر طرف خط $ \widetilde{A'B'} $ یک و فقط یک نیمخط مانند $ \overrightarrow{A'C'} $ موجود است که:
$$ \angle B'A'C' \cong \angle BAC$$
ق: هر دو زاویۀ قابل انطباق با زاویۀ سوم خود قابل انطباقاند و هر زاویه بر خودش قابل انطباق است.
ق: هرگاه دو ضلع و زاویۀ بین آنها از مثلثی به ترتیب با دو ضلع و زاویۀ بین آنها از مثلی دیگر قابل انطباق باشند آنگاه این دو مثلث کاملن قابل انطباقاند.
ادامه دارد...
