اصول پیوستگی و توازی:
اصل پیوستگی دد کیند: فرض کنید مجموعۀ نقاط واقع بر خط $l$ از اجتماع دو زیرمجموعه $ \sum_1$ و $ \sum_2$ چنان تشکیل شده باشد که هیچ نقطۀ $ \sum_1$ بین هیچ دو نقطۀ $ \sum_2$ نباشد و بالعکس. در این صورت یک نقطۀ منحصر بفر مانند $O$ واقع بر $l$ موجود است که $P_1.O.P_2$ اگر و تنها اگر $P_1 \in \sum_1$ و $P_2 \in \sum_2$ و $P_1 \neq O$ و $P_2 \neq O$. $( \sum_1, \sum_2)$ را یک برش ددکیند مینامند.
اصل موضوع ارشمیدس: اگر $AB$ و $CD$ دو پاره خط باشند، آنگاه عددی طبیعی مانند $n$ و نقطهای مانند $E$ وجود دارند بطوریکه $A.B.E$ و $nCD \cong AE$.
قضیه: اصل موضوع دد کیند مستلزم اصل موضوع ارشمیدس است.
اصل پیوستگی دایره: هرگاه دایرۀ $ \gamma $ یک نقطه درون دایرۀ $ \gamma '$ و یک نقطه بیرون آن داشته باشد، دو دایره متقاطعند. این اصل از اصل ددکیند ضعیفتر است و مستلزم اصل پیوستگی مقدماتی است.
اصل پیوستگی مقدماتی: هرگاه سر یک پاره خط بیرون و سر دیگرش داخل دایره ای باشد، پاره خط و این دایره متقاطعاند.
اصل توازی اقلیدسی: از یک نقطۀ غیر واقع بر یک خط تنها یک خط به موازات خط اول میگذرد.
اصل هیلبرت: از یک نقطۀ غیر واقع بر یک خط حداکثر یک خط به موازات خط اول می گذرد.
قضیه: اصل پنجم اقلیدس $ \Leftrightarrow $ اصل هیلبرت $ \Leftrightarrow $ مجموع زوایای هر مثلث 180 درجه است.
اصل توازی پر زحمت ترین و بحث برانگیزترین مفاهیم هندسه بوده و هست و خیلیها برای اثبات یا انکارش آستین بالا زدن. بطلمیوس، پروکلوس، ابوالحسن ثابت ابن قره حرانی، ابن هیثم بصری، عمر خیام نیشابوری، خواجه نصیرالدین طوسی، جان والیس، جیرولامو ساکری، یوهان هاینریش لامبرت، آدرین ماری لژاندر، هیلبرت و....
نتیجه این شد که خاصیت توازی اصل قرارداده شد. هندسه های با اصل 1 را بیضوی با اصل 2 را اقلیدسی و با اصل 3 را هذلولوی گویند.
جالب اینجاست که در ریاضیات پیشرفته این هندسه ها هم مدل دارند و هم به صورت مجرد از زیباترین دستاوردهای کوشش ریاضیدانانی چون لوباچوفسکی و... حساب میشود.
همین روش اصول موضعی امروزه در مبانی ریاضیات و نظریۀ مجموعهها هم بکار می رود. کانتور بود که به اصل پنجم متعارف اقلیدس ایراد گرفت و آن را به کمک مجموعههای نامتناهی برای انکار آن استدلال آورد وگفت تمام اعداد زوج که جزئی از اعداد طبیعی اند با تمام اعداد طبیعی برابرند. این اسکولم و هاسدورف و زورن و فرانکل و گودل و کوهن و... بودند که شیفته روش اصول موضوعی برای کل ریاضیات شدند. و همین روش اصول موضوعی بود که ریاضیدانان را به پادادوکس باناخ-تاراسکی رساند. همین روش بود که گودل و کانتور را حتا به جنون کشاند.
در این بلاگ هدف معرفی عمیق هندسه ها نبود بلکه مختصر ( اگر بی حرمتی به هندسه حساب نشود) معرفی و سیر تکامل هندسه بود. دیگر فراموشی وضعیت اسفناک جنگ حتی برای چند دقیقه و معرفی کتاب زیبا و ارشمند و پر مغز "مبانی هندسه جلد اول هندسه اقلیدسی" تالیف استاد فقید " دکتر علی اکبر عالم زاده" بود. این کتاب ارزش فوق العاده ای دارد و کافیست رفرنسهای کتاب را ببینید تا این ادعا ثابت شود. من این بلاگ را از این کتاب گرفتم.
من خودم هنوز اقلیدس را از بزرگترین ریاضیدانان می دانم. زمانی هیلبرت در وصف کانتور گفت : هیچ کس نمی تواند ما را از بهشتی که کانتور برایمان آفریده بیرون کند. من میگویم هیچ کس نمیتواند ما را از بهشتی که اقلیدس برایمان آفریده بیرون کند.
یاد تمام ریاضیدانانی که نام مبارکشان به این بلاک گره خورده از تالس تا زنده یاد علی اکبر عالم زاده گرامی و زنده باد.
$\Box$
