معادله ی جالب:$e^{i \pi}+1=0$
شاید بپرسید علت جالب بودن این معادله چیست؟خوب در این معادله پنج عدد مهم در کنار یکدیگر قرار گرفته اند.
۱و۰:اعداد مهمی هستند که در نوشتن اعداد به صورت باینری ازانها استفاده می کنیم و ر علم کامپیوتر هم کاربرد ویژره ای دارند.
عدد نپر:نیازی به اشنایی نیست حتما در کلی از حد ها و مسٔله ها ان را استفاده کرده اید.
عدد پی:نسبت محیط به قطر دایره(:
عدد $i$:یکه موهومی تعریف شده با $i=\sqrt{-1}$
اثبات:برای اثبات این معادله باید از بسط تیلوراستفاده کنیم.
بسط تیلور برای $e^x$:
$$e^x= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$$
بسط تیلور برای $cos{x}$:
$$\cos x= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{{(2n)}!} x^{2n}$$
بسط تیلور برای $sin x$:
$$\sin x= \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$
نکته مهم در مورد بسط سینوس و کسینوس:این بسط ها زمانی درست است که زاویه برحسب رادیان وارد شده باشد.
پی رادیان برابر ۱۸۰ درجه می باشد.
حال اگر در بسط تیلور $e^x$ به جای $x$،$i \theta$ را قرار داده و در بسط سینوس نیز همین کار و در بسط کسینوس به جای $x$ فقط $\theta$ را قرار دهیم داریم:
$e^{i\theta}=\cos {\theta}+i\sin{\theta}$
همان طور که گفته شد بسط های سینوس و کسینوس فقط زمانی درست است که زاویه برحسب رادیان وارد شده باشد.پس فرمول بالا هم زمانی درست است که زاویه بر حسب رادیان وارد شده باشد.
می دانیم که:
$\cos \pi =\cos 180=-1$
و
$\sin \pi=\sin 180=0$
پس اگر در معادله $e^{i \theta}=\cos {\theta}+i\sin{\theta}$ به جای $\theta$ عدد $\pi$ را قرار دهیم داریم:
$e^{i \pi}=-1+0\cdot i$
که نتیجه می دهد:
$e^{i\pi}=-1$
و در اخر نتیجه می گیریم:
$e^{i\pi}+1=0$
