تعبیر مشتق در کاربرد

Question

هفتهٔ پیش در یک بحث متوجه شدم که خیلی از افراد اصلا مفهوم مشتق را درک نکرده‌اند. در واقع سه نفر از دوستانم در ایران (که اصلا انتظار نداشتم) که هر سه دارای مدرک کارشناسی ارشد ریاضی در سه گرایش متفاوت ریاضی بودند، هر سه نظر عجیبی داشتند که واقعا من را بر آن داشت که بحث را به صورت یک متن دربیاورم و در اینجا قرار دهم تا اگر فرد دیگری نیز وجود دارد که هنوز نمی‌داند مشتق چیست، ابهام و اشتباهش اینجا رفع شود. بعلاوه اگر به دوست چهارمی برخوردم، او را ارجاع دهم و تکرار مکررات نکنم. مشتق را باید در حسابان سال سوم دبیرستان فهمیده‌باشید، و ربطی ندارد که گرایش‌تان در ریاضی چه هست! بخواهد آنالیز عددی باشد یا گراف یا جبر! اینکه فردی که هنوز مطالب دبیرستان را درک نکرده‌است مدرک کارشناسی ارشد بدهند یعنی مدرک‌های دانشگاهی‌مان فاقد ارزش است!

پرسش:

«غلظت مادهٔ $A$ و غلظت مادهٔ $B$ که به ترتیب با $a$ و $b$ نشان می‌دهیم تابعی بر حسب زمان هستند. واحد غلظت را مولار و واحد زمان را ثانیه بگیرید. میزان تغییرات غلظت مادهٔ $A$ را با $a'=-2ab$ مدل کرده‌ایم. به فرض در زمان $t=1$ داشته باشیم $a=1$ و $b=2$ ، در نتیجه مشتقِ $a$ در لحظهٔ $t=1$ برابر با -۴ است (مولار بر ثانیه). این به چه معنی است؟»

پاسخ اعجاب‌آور!

یعنی پس از گذشت یک ثانیه در $t=2$ غلظت مادهٔ $A$ چهار واحد کاسته و در نتیجه منفی سه مولار می‌شود!

در فیزیک دبیرستان، سرعت و شتاب نیز مشتق بودند و می‌بایست با کار با مثال‌های کاربردی از مشتق را در آنجا دیدهذباشید.

به هر حال، پاسخ درست:

ابتدا اینکه غلظت این دو ماده تابع‌هایی بر حسب زمان در نظر گرفته شده‌اند و در طی گذشت زمان می‌توانند تغییر کنند. تا اینجا که دوستان فهمیده‌اند که مشتق و تغییر در ارتباط هستند و مشتق ابزاری برای بیان تغییرات هست درست آمده‌اند. اما چگونه تغییرات را بیان می‌کنند؟

• یک زمانی شما مقدار در زمان الف را منهای مقدار در زمان ب می‌کنید. این می‌شود مقداری که از الف تا ب تغییر داشته‌اید.

• یک زمانی این مقدار تغییر را تقسیم بر میزان زمان بین الف و ب یعنی تفاضل الف و ب می‌کنید که آن موقع میانگین تغییرات در این بازه را داده‌اید.

  اگر تغییرات خطی باشد این میانگین کفایت می‌کند. چرا؟ چون همیشه چه اول باشد چه آخر، چه هر جا، میزان تغییرات یکسان است. پس بخواهید مقدار را در یک لحظه‌ای بدانید کافی است مقدار در یک زمان دیگر که از آن آگاه هستید را بعلاوهٔ ضرب این میانگین در مقدار فاصلهٔ زمانی بین این دو لحظه کنید. در واقع مشتق یک تابع خطی نیز یک عددی ثابت است. در این موقع هست که حرف آن دوستان درست می‌باشد.

ولی شما فرض کنید نمودار غلظت ماده‌ بر حسب زمان شبیه سهمی بشود، آیا اکنون نیز مشتق و پیش‌بینی مقدار ماده به همان روش خطی است؟ معلوم است که نیست! مشتق تعریفش از حد استفاده می‌کند! می‌گوید، تفاضل مقدار را در دو لحظه حساب کنید، تقسیم بر فاصلهٔ لحظه‌ها بکنید ولی بعد این فاصله را به صفر میل بدهید!!!!!!

برای پیش‌بینی مقدار تابع، چه می‌کردید؟ می‌گفتید صفرِ حدی را نمی‌توانم با یک عدد بیان کنم، ولی می‌توانم که با یک عدد کوچک، وابسته به ماهیت آزمایش تقریب بزنم. برای نمونه فرض کنید کمتر از یک هزارم را نمی‌توانید اندازه بگیرید. کوچکترین مقدار تصور در این حالت یک هزارم مولار است. هر چند که همیشه نباید این‌گونه مقدار تقریب را انتخاب کنید. ولی برای سادگی متن وارد جزئیات انتخاب میزان تقریب و تأثیرش در خطا نمی‌شویم.

می‌گوئید اگر در لحظهٔ یک، غلظت یک است و مشتق منفی چهار، آنگاه در لحظهٔ یک بعلاوهٔ $\Delta t$ (مثلا $\Delta t=0.001$) برابر می‌شود با $1-4\Delta t$ (مثلا $1-0.004$). سپس برای یک $\Delta t$-ِ دیگر پس از $1+\Delta t$، باید دوباره مشتق را در لحظهٔ $1+\Delta t$ پیدا می‌کردید و همینطور یک گام، یک گام به روز رسانی می‌کردید و جلو می‌رفتید.

تازه با اینکه $\Delta t$ را کوچک می‌گیرید، هنوز هم فقط تقریب دارید و یک خطایی دارد و هر مرحله خطا بزرگتر می‌شود و باید مراقب بحث خطا باشید و $\Delta t$ را مناسب انتخاب کنید.

در آخر باید اشاره کنم که درست است که برای رسم نمودار غلظت مادهٔ $A$ ، داده‌های پرسش کافی نیست و شما نیاز به مشتق تابع $b$ نیز دارید، ولی چیزی که مشخص است این است که تحت هیچ شرایطی غلظت مادهٔ $A$ منفی نمی‌شود. زیرا که تابع $a$ مشتق دارد و در نتیجه پیوسته نیز است. برای اینکه مقدار منفی‌ای اتخاذ کند با توجه به اینکه در زمان یک، مقدار مثبت دارد، باید ریشه‌ای پس از $t=1$ داشته‌باشد. فرض کنید در زمان $t=t_0$ صفر شود. در اینصورت مشتق آن در این زمان صفر می‌شود یعنی مقدار غلظت ثابت می‌ماند. از این لحظه به بعد مقدار $a$ روی صفر ثابت می‌ماند. بنابراین منفی سه نه تنها در $t=2$ بلکه در هیچ زمانی روی نمی‌دهد.

Comments

مقاله مفیدی بود . به نظر من تابع شبیه یک جسم پیوسته و یکپارچه است که  اگه به هر تعداد تکه متناهی تقسیم کنیم. به تکه ای نخواهیم رسید که دیگر نتوان آن را تکه کرد. اما اگر به بی نهایت تکه تقسیم کنیم به تکه ای آنقدر کوچک خواهیم رسید که دیگر نمی توان آن را تکه کرد یعنی به اندازه عددی که به سمت صفر میل میکند کوچک بوده و از هر عددی کوچک تر است. که این رسیدن به تکه ی غیرقابل تقسیم تعبیری از مشتق است.و برعکس این موضوع تعبیر انتگرال است.همانطور که هزاران صفحه روی هم تشکیل حجم نمی دهند هر تعداد متناهی از قطعه هایی که گفتم را کنار هم بگذاریم جسمی یکپارچه و پیوسته تشکیل نمی شود اما اگر بی نهایت تکه که تعداد آن ها به بزرگی عددی باشد که به سمت بی نهایت میل می کند را در کنار هم قرار دهیم آن وقت تشکیل جسم می دهند.چون با مشتق از جسم به تکه های آن رسیدیم برای رسیدن از تکه های آن به جسم باید کاری برعکس مشتق را انجام دهیم.و انگار به همین دلیل است که انتگرال گیری برعکس مشتق گیری است.البته منظورم از تقسیم کردن تقسیم کردن محور بود . محوری که نسبت به متغیر آن انتگرال یا مشتق می گیریم. اگر جسم حجم باشد قطعات **صفحه ضربدر بخش بسیار کوچکی از محور** هستند اگر جسم مساحت باشد قطعات **خط ضربدر بخش بسیار کوچکی از محور**  هستند و اگر جسم خط باشد قطعات **شیب ضربدر بخش بسیار کوچکی از محور** خواهند بود.اینکه از تکه تکه کردن جسم به یک تکه آن برسیم و اینکه از تعدادی تکه یک جسم تشکیل دهیم هر دو عملی ناممکن هستند اما مشتق و انتگرال این کار را با توسل به مفهوم بی نهایت انجام می دهند.بی نهایت واقعی در حقیقت به نظر من وجود ندارد و تنها در اعداد حقیقی آن هم با اتکا به اصول پیوستگی امکان پذیر است.که محدودیتی که در انتخاب $\Delta t$ وجود دارد ناشی از همین امر است.
آیا این تعبیر درست است؟

---

@amirabbas متن‌تان قشنگ بود. به نظرم انشا و تصور خوبی دارید، در صفحه‌تان رشته و تخصص‌تان را ننوشته‌اید ولی کنجکاو شدم بدانم.

تنها به عنوان اینکه شاید برایتان جالب باشد دوست داشتم اشاره کنم که مشتق و انتگرال را در ساختارهای کلی‌تر از اعداد حقیقی و تابع‌های بین‌شان نیز می‌شود تعریف کرد. حتی در ساختارهایی که مفهوم حد یا پیوستگی یا بینهایت یا کوچکتری و بزرگتری وجود ندارد. مطمئنا ساختارها و تعریف‌های مجردتر و محض‌تری را نیاز خواهند داشت ولی به معنای مجردِ بی‌کاربرد نیستند و چون در کابرد وجود داشته‌اند مطرح شده‌اند (البته برخی ریاضی‌دانان نیز بدون هیچ تعبیری مجردکاری خالی می‌کنند که جزو بحث من نمی‌شوند). البته وابسته به نوع کاربرد و مسأله‌ای که دارید ممکن است مشتق و انتگرال معمول با همین تعابیری که اشاره دارید کفایت کند.

اما در مورد محدودیت در انتخاب $\Delta t$. اینکه هر چقدر هم $\Delta t$ را کوچک بگیرید با صفر حدی یکی نیست روشن است. چون صفر حدی یعنی از هر عدد مثبتی کوچکتر، و این مقدار کوچک ما مثلا یک‌هزارم، خود یک عدد مثبت است. در نتیجه هنوز ار صفر حدی بزرگتر است. پس با استفاده از یک مقدار تقریبی برای ورودی محاسباتمان نمی‌توانیم ادعا کنیم که خروجی‌مان مقدار مطلوب است. حتی اینکه بگوئیم این تقریب اندازهٔ گام‌هایمان به تقریب خروجی تابع می‌انجامد را نیز باید ثابت کنیم و اینکه بگوئیم چون برای ورودی تقریب زده‌ام، پس خروجی نیز تقریب مقدار خروجی واقعی‌است، اسمش اثبات نمی‌شود. برای اینکه بگوئیم خروجی را تقریب زده‌ایم باید ثابت کنیم که تفاضل مقداری که ما ارائه می‌دهیم از مقدار واقعی کمتر از یک مقدار خطای مشخصی است. درست است که مقدار واقعی تابع را نداریم ولی دوباره از ابزار حدی می‌توانیم استفاده کنیم. برای نمونه یکی از جاهایی که می‌توانیم برای این تفاضل کرانی ارائه دهیم و حتی می‌توانیم روی اینکه چقدر باید $\Delta t$ را کوچک بگیریم بحث کنیم، زمانی است که تابع شما تحلیلی باشد (یعنی مشتق‌پذیر از هر مرتبه) و آنگاه از بسط تیلور برای دادن کران بالا برای خطای خروجی استفاده می‌کنیم. به این بررسی‌ها، تحلیل (آنالیز) خطا می‌گویند که اگر بحث کاملی از آن بخواهید یکی از مباحث همیشگی آنالیزعددی است. اتفاقا بحث شیرینی نیز است. به یاد ندارم جزو مباحث دبیرستان بوده‌باشد که کران بالا برای خطا بیابیم. اگر علاقه داشتید کتاب‌های بچه‌های آنالیز عددی را بخوانید. آقای اسماعیل بابلیان کتابی برای پیام نور نوشته‌اند با عنوان «آنالیز عددی ۱» که ساده است و پیش‌نیاز خاصی نیاز ندارد، به نظرم شروع مقدماتی خوبی باشد. خانم توتونیان نیز کتاب خوبی دارند.

اگر به خود مفهوم بینهایت و حد علاقه دارید، فکر کنم آقای @fardina سر و کار بیشتری با مباحث آنالیزی داشته‌باشند تا من. بد نیست نظر ایشان را نیز بپرسید.

---

البته منظورم از اینکه گفتم این کار با اتکا به پیوستگی صورت می گیره این بود که بی خطا ترین پاسخ با پیوستگی حاصل میشه و اگر پیوستگی نباشد بی استفاده نیست .پیوستگی به ما اجازه کوچک کردن خطا تا حد دلخواه را می دهد اما اگر پیوستگی نباشد کاهش خطا ممکن نیست . واضح ترین مثال این موضوع توابعی مانند تابع تولید یک محصول هستند. همانطور که می دانید ورودی این توابع مقادیر طبیعی است و یک تابع کاملا گسسته است و صحبت در مورد مشتق آن هم معنی ندارد. اما با مشتق گیری مقداری تقریبی از هزینه تولید محصول n ام را می توان به دست آورد . در مسئله غلظت با میل $\Delta t$ به سمت صفر قادریم خطا را تا حد قابل قبولی کوچک کنیم.اما در مثال تولید محصولات به دلیل گسسته بودن تابع و بی معنی بودن میل تعداد محصولات به سمت صفر کاهش خطا امری غیر ممکن است.

---

@amirabbas مشکلی که در تابع با دامنهٔ اعداد طبیعی بحث کردید از اینجا ناشی می‌شود که شما در حال تقریب زدن آن به وسیلهٔ یک تابع با دامنهٔ اعداد حقیقی هستید و از ابتدای بحث شما یک تابع با تفاوت دامنه را به کار می‌برید. از همین ابتدای بحث ابزارتان خیلی با مدل واقعی تفاوت دارد. برای حل مشکل دو راه وجود دارد. راه یکم این است که در عمل نحوهٔ اندازه‌گیری هزینهٔ تولید کالا را طوری طراحی و انجام دهید که داده‌هایتان به داده‌های مربوط به یک تابع پیوسته نزدیک‌تر شود. برای نمونه یک ایده این است که فاصلهٔ بین هر دو برآورد هزینه را مداوم کم و کم‌تر کنید! (مقایسه شود با کوچک‌تر کردن $\Delta t$). راه دوم این است که پرسش‌تان را بحث کنید و مدلی با اثبات اینکه تقریب مناسبی است استفاده کنید. هر چند که خیلی به جایش ترجیح می‌دهند یک مدل‌سازی که برایش اثبات نیاورده‌اند و تنها چون ساده‌ترین چیزی بوده‌است که به ذهنشان می‌رسیده‌است به کار ببرند و در دنیا اصلا نمی‌آیند برای مسأله‌ای که گفتید یک تقریب دبیرستان آن هم به این پرخطایی برای برآورد هزینهٔ محصولاتشان که قرار است سود و زیانشان به آن وابسته باشد استفاده کنند. اگر جایی چنین کنند فقط ایران است. برای نمونه سال یکم ارشد به همراه دوستی که ریاضی مالی می‌خواند به کارمندان بورس سر زدیم، باورتان نمی‌شود که اوج ریاضی‌ای که به کار می‌بردند به یک رسم نمودار و دو تا خط کشیدن با خط‌کش برای ناحیهٔ ریسک و غیره محدود می‌شد!!!!!! راه‌هایی که شما در پیش دارید این است که بحث‌های مشتق گسسته و time scale را مطالعه کنید یا با بحث‌های آماری و سری زمانی آشنا شوید. همهٔ اینها به توضیح دقیق پرسش‌تان نیاز دارد و هدف‌تان. تا آنجا که من می‌دانم برای پیش‌بینی هزینه یا مسائل ریاضی مالی مانند پیش‌بینی بورس و ریسک سرمایه‌گذاری و تغییر ارز و ... از مدل‌های deterministic استفاده نمی‌شود چون ماهیت deterministic ندارند بلکه ماهیت stochastic دارند.

---

ممنون و خسته نباشید برای نوشتن این مطلب.
در قسمت وبلاگ متاسفانه ناتیفیکیشن سایت کار نمی کند لذا اینجا نمیتونید با @username کسی رو آگاه کنید. البته این بخاطر این بوده که قسمت وبلاگ بعدا به سایت اضافه شده و در آینده به احتمال زیاد این مشکل حل بشه.
به هر حال بریم سراغ مطلبی که شما اینجا طرح کردید. فکر کنم منم جزو همون افرادی باشم که هنوز مشتق رو درک نکردم:)
در مورد رابطه ی بین آهنگ تغییر و مشتق من گمان میکنم شاید این جمله که نقل کردید:
"یعنی پس از گذشت یک ثانیه در $t=2$ غلظت مادهٔ $A$ چهار واحد کاسته و در نتیجه منفی سه مولار می‌شود!"
یک کلمه کم داره!
در واقع باید میگفتن <تقریبا> چهار واحد کاسته میشود!
در واقع از این موضوع استفاده کردن که بهترین تقریب خطی یک تابع مشتق پذیر در نزدیکی نقطه $a$ برابر است با خط مماس بر نمودار در این نقطه $f(a+h)\approx f(a)+f'(a)h$ و خوب اگر $h=1$ قرار دهید اینطور تعبیر می شود که اگر از نقطه $a$ به اندازه یک واحد تغییر کند و به جلو رویم در اینصورت تقریبا به اندازه مشتق تابع در آن نقطه تغییر ایجاد می شود $f(a+h)-f(a)\approx f'(a)$ .

---

@fardina اگر اگاهی‌رسان کار می‌کرد خوب می‌بود ولی اگر کار هم نکند برای اشاره کردن به اینکه مخاطب اولیهٔ کلام کیست نیز خوب است.

دلیل برای رد اینکه دوستان یادشده اصلا به واژهٔ تقریب فکر نکرده‌اند این است که (هر سه مورد زیر را با فرض اینکه با آگاهی به مفهوم مشتق پاسخ داده‌اند بخوانید)؛

 - تعجب کرده‌بودند که چگونه می‌تواند غلظت ماده منفی بشود پس متنی که «پرسش» از آنجا آمده‌است اشتباه است! (تعجب‌شان به جا بود ولی نتیجه‌گیری‌شان خیر و نشان می‌دهد نمی‌دانستند که چه می‌کنند).

 - زمانی که شما تقریب می‌زنید، به خطا هم فکر می‌کنید و سریع با یک مقدار $\Delta t$ تصادفی مشغول به حل پرسش نمی‌شوید. بعلاوه شما یک مقدار برداشتید، بحث اینکه اصلا پیش از انتخابش باید فکر می‌کردید را بگذاریم کنار، زمانی که دیدید پاسخ‌تان ۱۰۰٪ بی‌معنا شده‌است (غلظت یک ماده منفی شده‌است) نباید مقدار $\Delta t$ را تغییر دهید؟

 - فرض کنیم شما می‌خواهید تقریب بزنید و نمی‌خواهید تحلیل اولیهٔ خطا انجام دهید و می‌خواهید با بزرگترین مقدار $\Delta t$-ِ ممکن کار کنید مثلا یک. یک راه این است که پس از محاسبه با این مقدار، یک بار هم با نصف آن مقدار امتحان کنید و ببینید آیا اختلاف دو پاسخ قابل چشم‌پوشی هست یا خیر؟ اگر اختلاف واقعا کم بود فرضا در همان شرایط بالا یک‌هزارم مولار شد، بگوئید کار با $\Delta t=1$ نیز کار را راه می‌اندازد پس چرا خودم را با یک مقدار اعشاری اذیت کنم. (البته این روش همیشه مناسب نیست ولی فعلا در محیط این پرسش مشکلی ندارد).

---

بله برای اینکه مخاطب مشخص بشه خیلی خوب هست. البته اینکه دیدگاه برای مطلب آمده یا دیدگاه بعد از دیدگاه شما قرار داده شده از طریق ایمیل اطلاع رسانی میشه. فقط از طریق سیستم داخل سایت اطلاع داده نمیشه.

در مورد بحث شما هیچ شکی نیست که باید $\Delta t$ مناسب انتخاب شود.
البته در مورد انتخاب $\Delta t=1$ خوب هست این رو بگم که معمولا این بحث در قسمت مسائل اقتصادی برای دانش آموزان یا دانشجوها بیان میشه. اگر مثلا $C(x)$ تابع هزینه تولید کالایی در یک کارخانه باشد چون معمولا این مقادیر $x$ صحیح هستند میل دادن $\Delta x$ به صفر شاید کار درستی نباشه(در مورد این مسائل به خصوص). بنابراین می توان گفت هزینه اضافی برای تولید یک واحد دیگر از این محصول تقریبا برابر $C'(x)$ خواهد بود.
شاید همچین مواردی باعث گمراه شدن دانش آموز شده باشه.