Question

اگر $ \lim_{x \rightarrow a}g(x) =0, \lim_{x \rightarrow a}f(x) =0$ باشد $$ \lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= \frac{0}{0} $$در اين صورت گوييم مبهم است

چرا و به چه دليل ؟

و براي رفع ابهام بايد چگونه عمل كرد؟چرا و به چه دليل؟

Answer 1

دلیل اینکه حالت $\frac 00$ را مبهم میگیم اینه که میتونیم مثال هایی بیاریم که حالت $\frac 00$ هستند در حالیکه حد می تواند هر عدد حقیقی دلخواه شود.

به عنوان مثال $\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\frac 00$ حد آن برابر $0$ است

$\lim_{x\to 0}\frac xx=\frac 00$ حدش برابر $1$ است

از طرفی $\lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2}=\frac 00$ حدش برابر $\pm\infty$ است.

و حتی به ازای هر عدد حقیقی $a\neq 0$ داریم $ \lim_{x\to 0}\frac{ax}x=\frac 00 $ حدش برابر $a$ است.

توجه کنید که ما حدی که حالت $\frac 00$ داشته باشه رو حالت مبهم میگیم ولی ممکنه این حد جواب داشته باشه(وجود داشته باشه) یا نداشته باشه.

میتونید اینجا رو هم ببینید.

برای به دست آوردن حدهایی که حالت $\frac 00$ دارند بستگی به نوع سوال دارد مثلا چنانچه صورت و مخرج چندجمله ای باشند و $a$ ریشه صورت و مخرج باشد می توانیم از عبارت $(x-a)$ در صورت و مخرج فاکتور گرفته و آنها را حذف کنیم.(توجه کنید که وقتی $x\to a$ در اینصورت $(x-a)\to 0$ به سمت صفر میل می کند و برابر خود صفر نیست لذا می توانید $\lim_{x\to a}\frac{x-a}{x-a}$ صورت و مخرج را ساده کنید و این رو با حالت $\frac 00$ که میگیم تعریف نشده است اشتباه نگیرید. ما درحالت حدی indeterminate(مبهم یا نامعین) داریم و در دستگاه اعداد حقیقی undefine(تعریف نشده) که نباید با هم اشتباه بگیرید.)

ولی برای غبرچندجمله ایها باید از راههای دیگه استفاده کنیم مثلا در $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$ نمیتونیم که فاکتور بگیریم! مثلا در این مثال میتونیم از روش های هندسی یا بسط مک لورن استفاده کنیم.