قضیه(زوایای متبادل درونی) اگر خط $d$ دو خط $L,L'$ را طوری قطع کند که دو زاویه متبادل درونی برابر باشند( $\angle A_1\cong \angle B_1$ ) در اینصورت $L\| L'$ .
اثبات: (کتاب هندسه اقلیدسی و نااقلیدسی از گرینبرگ ترجمه شفیعیها)
بنابر فرض $\angle A_1\cong \angle B_1$ . فرض کنیم $L$ و $L'$ همدیگر را در یک نقطه $D$ قطع کنند. بنابر اصول موضوعه می توانیم نقطه $E$ را چنان اختیار کنی که $AE\cong BD$ . بنابراین مثلث های $\triangle ABE$ و $\triangle BAD$ طبق (ض ز ض) هم نهشت خواهند بود(چرا؟) پس به ویژه $\angle A_2\cong \angle B_2$ . چون $\angle A_2$ مکمل $\angle A_1$ است پس باید $\angle B_2$ مکمل $\angle B_1$ باشد. و این ایجاب می کند ه $E$ روی خط $L$ قرار داشته باشد. بنابراین $L$ و $L'$ در دو نقطه $E$ و $D$ مشترک می شوند که این هم با این حقیقت که خطوط متقاطع متمایز فقط در یک نقطه مشترک هستند در تناقض است. بنابراین باید $L\| L'$ . $ \Box $
عکس قضیه ی بالا یعنی این گزاره:
اگر خط موربی دو خط موازی را قطع کند زوایای متبادل داخلی با هم برابر خواهند بود.
با اصل پنجم اقلیدس(یا اصل توازی) معادل است و بدون استفاده از این اصل نمی توان آن را اثبات کرد. فقط می توانیم با قبول اصل پنجم آن را اثبات کنیم به این ترتیب:
فرض کنید $L\| L'$ و خط $d$ این دو را قطع کند.
بنابر یکی از اصول هم نهشتی از نقطه $A$ می توان خطی مانند $d'$ رسم کرد به طوری که $\angle XAB\cong \angle B_1$ . پس بنابر قضیه زوایای متبادل درونی باید $L'\| d'$ . و این یعنی از نقطه $A$ خارج از خط $L'$ دو خط به موازات $L'$ رسم شده اند (خطوط $L, d'$ ). اصل توازی ایجاب می کند که $L$ و $d'$ با هم یکی باشند. لذا $\angle A_1\cong \angle B_1$ . $ \Box $
