عبارت توانی صحیح مثبت
$${\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{\forall \ \ \big(\color{teal}{r \in \mathbb{R}, n\in \mathbb{N}} \big) \ : {{r}^{\color{teal}{n}}
}{}:=\begin{cases}
r & n=1 \\ \big(r^{n-1}\big)\cdot r & n\neq 1 \end{cases}}}
\tag{Def 1}$$
حالت خاص :
در صورتی که $n=2$ مربع عدد $(r)$ یا مجذور عدد $(r)$ گوییم.
در صورتی که $n=3$ مکعب عدد $(r)$ گوییم.
عبارت توانی صفر
حال میخواهیم عبارت توانی را بسط بدهیم طوری که عبارت توانی صفر هم داشته باشیم. برای این عمل به تعریف قبلی رجوع میکنیم.
تعریف کردیم که اگر $n\neq 1$ باشد آنگاه خواهیم داشت. $r^n=(r^{n-1})\cdot r$
اگر $n= 1$ قرار دهیم. عبارت توانی صفر ایجاد میشود.$r^1=(r^{0})\cdot r$
اما ما تعریف کردیم که اگر $n= 1$ باشد.$r^1= r$ بنابراین باید عبارت توانی صفر را به صورت زیر تعریف کنیم.
$${\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{\forall \ \ \big(\color{teal}{r \in \mathbb{R}\backslash \color{teal}{\{0\}}} \big) :{r}^{\color{teal}{
{}0}}:=1}}\tag{Def 2}
$$
عبارت توانی صحیح منفی
باز هم علاقمند هستیم که عبارت توانی را بسط دهیم طوری که عبارت توانی صحیح منفی هم داشتته باشیم برای این عمل باز هم به تعاریف قبلی رجوع میکنیم. تعریف کردیم که اگر $n\in \mathbb{N}$ باشد آنگاه خواهیم داشت. $r^n=(r^{n-1})\cdot r$ اگر $n= 0$ قرار دهیم. عبارت توانی منفی یک ایجاد میشود. $r^0=(r^{-1})\cdot r$ بنابراین باید عبارت توانی منفی یک را به صورت زیر تعریف کنیم.
$${\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{\forall \ \ \big(\color{teal}{r \in \mathbb{R}\backslash \{0\}} \big) :{r}^{\color{teal}{
{}-1}}:=\dfrac{r^0}{r}=\dfrac{1}{r}}}\tag{Def 3}
$$
به عنوان اصل میپذیریم.
$${\bbox[5px ,border:1px solid #FA8072]{\forall \ \ \big(\color{teal}{r \in \mathbb{R}\backslash \{0\}},n\in \mathbb{N} \big) :{r}^{\color{teal}{
{}-n}}=\big(r^{-1} \big)^n}}\tag{Axiom 1}
$$
عبارت توانی گویا
با توجه به وجود ریشه $n$اُم خواهیم داشت.
به ازای هر عدد حقیقیِ مثبت $ (a \in \mathbb{R}^{+} )$ و هر عدد طبیعی $(2n : n \in \mathbb{N})$ دو عدد وجود دارد.
یک عدد در مجموعه اعداد حقیقی مثبت $ r \in \mathbb{R}^{+}$ که یکتا است به طوری که $r^{\large{(2n)}}=a$
یک عدد در مجموعه اعداد حقیقی منفی $r_{\circ} \in \mathbb{R}^{-}$ که یکتا است به طوری که $r_{\circ}^{\large{(2n)}}=a$
حال اعدادِ $( r_{\circ} \ , \ r )$ را ریشه $(2n)$اُم عدد حقیقیِ مثبت $a$ تعریف میکنیم و به صورت زیر نمایش میدهیم.
$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{ \sqrt[\color{teal}{\Large{{2n}}}]{{a}}=a^{\large{1/(\color{red}{2n})}}:=r \ \ \ \ , \ \ \
-\sqrt[\color{teal}{\Large{{2n}}}]{{a}}=-a^{\large{1/(\color{red}{2n})}}:=r_{\circ}}}\tag{Def 4}
$$
و عبارت $\large{\sqrt[\color{teal}{\Large{2n}}]{{a}}}$ به صورت
رادیکالِ $(a)$ به فُرجهِ $(2n)$ میخوانیم.
حالت خاص :
در صورتی که $n=1$ جذر عدد $(a)$ یا رادیکال عدد$(a)$ گوییم و از نوشتن فُرجه صرفنظر میکنیم.
با توجه به وجود ریشه $n$اُم خواهیم داشت.
به ازای هر عدد حقیقی $a\in \mathbb{R}$ و هر عدد طبیعی $(2n-1:n\in \mathbb{N})$ وجود دارد یک عدد حقیقی یکتا $r \in \mathbb{R}$ به طوری که $r^{\large{(2n-1)}}=a$ حال عددِ $( r )$ را ریشه $(2n-1)$اُم عدد حقیقیِ $a$ تعریف میکنیم و به صورت زیر نمایش میدهیم.
$$\large{\bbox[5px ,border:1px solid #4682B4]{ \sqrt[\color{teal}{\Large{2n-1}}]{{a}}=a^{\large{ 1/(\color{teal}{2n-1})}}:=r}}\tag{Def 5}
$$
و عبارت $\large{\sqrt[\color{teal}{\Large{2n-1}}]{{a}}}$ به صورت رادیکالِ $(a)$ به فرجهِ $(2n-1)$ میخوانیم.
به عنوان اصل میپذیریم اگر $a^{\color{teal}{m}} $ عبارت توانی باشد به طوری که از تعاریف $(1,2,3)$ و اصل $(1)$ پیروی کند و همچنین $a^{\large{1/(\color{teal}{n})}}$ عبارت توانی باشد که از تعاریف $(4,5)$ پیروی کند آنگاه داریم.
$$\bbox[5px ,border:1px solid #FA8072]{\large{\big(a^{\large{1/(\color{teal}{n})}}\big)^m=\big( a^m\big)^{\large{1/(\color{teal}{n})}}=a^{\large{m/(\color{teal}{n})}}}}\tag{Axiom 2}
$$
عبارت توانی حقیقی
قضیه $:$ اگر داشته باشیم $x\in\mathbb{R} \ , \ a >1$ آنگاه دو مجموعه $\mathbb{Q}_{< x} \ , \ \mathbb{Q}_{>x}$ را به صورت زیر تعریف میکنیم.
$$\mathbb{Q}_{< x} :=\{r\in \mathbb{Q} \ , \ r< x\} \ \ , \ \ \mathbb{Q}_{>x} :=\{r\in \mathbb{Q} \ , \ r>x\} $$
و همچنین تعریف میکنیم
$(s_x:={\text{sup} \ a^r}_{r\in \mathbb{Q} >x} \ \ , \ \ i_x:={\text{inf} \ a^r}_{r\in \mathbb{Q}< x}) $
آنگاه ثابت میشود $\ \ s_x=i_x \\$ همچنین اگر $x \in \mathbb{Q} $ انگاه خواهیم داشت $ s_x=i_x=a^x $.
قضیه برابری سوپریمم و اینفیمم پیشنهادی برای تعمیم عبارت توانی حقیقی میدهد اگر داشته باشیم $x\in\mathbb{R} \ , \ a>1$ آنگاه تعریف میکنم.
$$
\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{a^{\color{teal}{x}}:=\color{teal}{\sup} \ \{a^r;r\in \mathbb{Q}, r< \color{teal}{x} \}=\color{teal}{\inf} \ \{a^r;r\in \mathbb{Q}, r >\color{teal}{x} \}}\tag{Def 6}
$$
حال اگر $b\in (0,1)$ باشد آنگاه خواهیم داشت $\dfrac{1}{b} > 1$ و تعریف میکنیم.
$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{b^{\color{teal}{x}}:=\big(\dfrac{1}{b}\big)^{\color{teal}{-x}}}\tag{Def 7}$$
و عبارت توانی حقیقی با پایه یک را به صورت زیر تعریف میکنیم.
$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big(\color{teal}{\forall \ x\in \mathbb{R}}\big) \ \ {(1)^{\color{teal}{x}}:=1}}\tag{Def 8}$$
همچنین عبارت توانی حقیقی با پایه صفر را به صورت زیر تعریف مکنیم.
$$\bbox[10px ,border:1px solid #4682B4]{\big(\color{teal}{\forall \ x\in \mathbb{R}^+}\big) \ \ {(0)^{\color{teal}{x}}:=0}}\tag{Def 9}$$
قضایای عبارت های توانی
هر عبارت توانی را عبارت توانی استاندارد گوییم اگر از تعاریف $(1,2,3,...,9)$ و اصول $ (1,2)$ پیروی کند حال اگر $\large{x^\color{teal}{n}},x^\color{teal}{m},y^\color{teal}{n}$ عبارت توانی استاندارد باشند آنگاه خواهیم داشت.
$$ \large{{{x}^{\color{teal}{(n+m)}}=({x}^{\color{teal}{n}})\cdot ({x}^{\color{teal}{m}})}}
\\
\large{{{(x\cdot{y})}^{\color{teal}{n}}=({x}^{\color{teal}{n}})\cdot ({y}^{\color{teal}{n}})}}
\\
\large{{{(x^{\color{red}{m}})}^{\color{teal}
{n}}={(x^{\color{teal}{n}})^{\color{red}{m}}}={x}^{(\color{teal}{n}\ \cdot \ \color{red}{m})}}}$$
صادق صادری مهران
ویرایش شده شهریور ۲, ۱۳۹۶ توسط saderi7