باید دنباله های $(a,b,c)$ را از اعداد طبیعی که $a \leq b \leq c$ و $a+b+c=n$ و تشکیل مثلث می دهند بشماریم.این مثلث ها را مثلث مطلوب می نامیم.این تعداد را با نماد $T(n)$ نشان می دهیم.اولن می دانیم یک سه تایی تشکیل مثلث میدهند هرگاه مجموع هر دو عدد آن از عدد دیگر بزرگتر باشد.در اینجا چون همواره $a+c>b$ و $b+c>a$ پس سه تایی های ما تشکیل مثلث میدهند اگر و تنها اگر $a+b>c$.و همچنین:
$a+b>c \Rightarrow a+b+c>c+c \Rightarrow n>2c \Rightarrow c< \frac{n}{2} $
و این حکم به طریق مشابه برای $b$ و $c$ نیز درست است.
از طرفی اگر $n$ زوج باشد و $a+b=c+1 $ آنگاه $a+b+c=2c+1=n$ که فرد است.پس در حالتی که $n$ زوج است باید $a+b>c+1$.حالا چون $a+b>c+1 \Leftrightarrow (a-1)+(b-1)>(c-1)$ و $a+b+c=n \Leftrightarrow (a-1)+(n-1)+(c-1)=(n-3)$ پس $(a,b,c)$ یک مثلث مطلوب با محیط $n$ است اگر و تنها اگر $(a-1,b-1,c-1)$ یک مثلث مطلوب با محیط $n-3$ است.و چون بین سه تایی های به شکل $(a,b,c)$ و $(a-1,b-1,c-1)$ تناظر یک به یک وجود دارد پس داریم:
$ \forall n \in N:T(2n)=T(2n-3)$
حالا اگر $n>12$ و $(a,b,c)$ مثلث مطلوب با محیط $2m-12$ باشد آنگاه $c< m-6(c \leq m-7)$.در اینجا به سادگی می توان نتیجه گرفت که $(a,b,c)$ مثلث مطلوب با محیط $n-12$ باشد آنگاه $(a+4,b+4,c+4)$ مثلث مطلوب با محیط $n$ است و برعکس و $c+4 \leq m-3$.
حالا به سادگی می توان تعداد مثلث های مطلوب $(x,m-x+1,m-1)$ و $(x,m-x+2,m-1)$ را به دست آورد.از مثلث های مطلوب به این شکل به ترتیب نتیجه می شود:
$2 \leq x \leq \frac{m+1}{2} $,$4 \leq x \leq \frac{m+2}{2} $
که تعداد این حالات برابر است با:
$[ \frac{m+1}{2} ]-1+[ \frac{m+2}{2} ]-3=m-3$
با این استدلال به نتیجه می رسیم:
$T(2m)=T(2m-12)+m-3$
حالا برای $n$ های فرد بنا به توضیحات بالا داریم:
$T(2n+3)=T(2n)$
$ \Box $
