بدست آوردن ضابطه ی تابع

Question

اگر $x < 0$ و $f ( \frac{y}{x} )= \frac{ \sqrt{ x^{2} + y^{2} } }{x}$ آنگاه $f(x)$ را بدست آورید؟ اگر محدودیت $x$ را برداریم چه؟

Comments

برای حل شما ابتدا x رو به زیر رادیکال انتقال بدین و سپس y/x رو تغییر متغییر بدین به حل مسئله می رسید

---

$x$ و $y$ هر دو متغیر هستن؟ یا یکیشون عدد ثابته؟

---

هر دو متغیر

Answer 1

می دانیم وقتی $x < 0$ است داریم $\mid x \mid =-x$ و همچنین میدانیم $\sqrt{ x^{2} } = \mid x \mid$ لذا داریم:

$$f ( \frac{y}{x} )= \frac{ \sqrt{ x^{2} + y^{2} } }{x}=\frac{ -\sqrt{ x^{2} + y^{2} } }{-x}=\frac{ -\sqrt{ x^{2} + y^{2} } }{ \mid x \mid }=\frac{- \sqrt{ x^{2} + y^{2} } }{\sqrt{ x^{2} }}= -\sqrt{ \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2}} } =-\sqrt{ 1+ (\frac{ y}{x})^{2} }$$

یعنی :

$$f(t)=- \sqrt{1+t^{2}}$$

اگر محدودیت $x < 0$ را در نظر نگیریم تابع دو ضابطه ای زیر بدست می آید:

$$f(x) =\begin{cases} \sqrt{1+x^{2}} & x \geq 0\\- \sqrt{1+x^{2}} & x < 0\end{cases}$$

Answer 2

$$f(\frac yx)=\frac{\sqrt{x^2(1+(\frac yx)^2}}{x}=\frac{|x|\sqrt{1+(\frac yx)^2}}{x}=-\sqrt{1+(\frac yx)^2}$$

بنابراین با تغییر متغیر $t=\frac yx$ داریم $f(t)=-\sqrt{1+t^2}$

Comments

خیلی ممنون تو قسمت دوم سؤال مشکل دارم