ضابطه تابع وارون $f(x)=\frac{x^3|x|}{x^4+1}$ را بدست آورید.

Question

ضابطه تابع وارون $f(x)=\frac{x^3|x|}{x^4+1}$ با ضابطه ی زیر را بدست آورید.

Answer 1

$$y=\begin{cases} \frac{x^4}{x^4+1} & ,x \geq 0\\ -\frac{x^4}{x^4+1}& ,x < 0\end{cases}$$

برای $x \geq 0$ داریم $\frac{1}{y}=1+\frac{1}{x^4}$ پس $x^4= \frac{y}{1-y}$ درنتیجه باتعویض $x$ و $y$

$$y= \sqrt[4]{\frac{x}{1-x}}$$

ووقتی $x< 0$باتعویض $x$ و $y$ داریم

$$y=-\sqrt[4]{\frac{-x}{1+x}}$$ لذا

$$f^{-1}(x)=\begin{cases}\sqrt[4]{\frac{x}{1-x}} & 0\leq x< 1\\ -\sqrt[4]{\frac{-x}{1+x}} & -1< x < 0\end{cases}$$