امتحان درستی تقسیم نادرست است

Question

جرا امتحان تقسیم ،تقسیم غلط را درست نشان می دهد؟

Comments

30 سال دبیر ریاضی بودم.

Answer 1

فکرمیکنم درامتحان کردن باید بدون درنظرگرفتن ممیز امتحان ها را بررسی کنید

739=3+1*246 و 3>1

Answer 2

همونطور که @good4us اشاره کردن مشکل صحیح نبودن اعداد در امتحان تقسیم است.اگر منشا روشی که برای امتحان تقسیم به کار می بریم را الگوریتم تقسیم در نظر بگیریم برای امتحان باید فرض های این الگوریتم برقرار باشد. بر طبق الگوریتم تقسیم : به ازای اعداد صحیح $a, b$ که $b$ مخالف صفر باشد، اعداد صحیح یکتایی مانند $q , r$ وجود دارند بطوریکه:

$$ a = bq + r $$ $$0 \le r < b$$

اگر تقسیم 3 بر 2 را در نظر بگیریم:

$$ 3 = 2 \times 1 + 1 $$

بر طبق الگوریتم شکل زیر برای ادامه تقسیم صحیح نیست:

$$ 1 = 2 \times 0.5 + 0 $$

برای صحیح بودن اعداد باقیمانده تقسیم قبل یعنی مقسوم تقسیم فعلی را ده برابر کرده اما در عوض یک رقم اعشار در خارج قسمت به پیش می رویم. پس می توان برای ادامه اینگونه الگوریتم را تکرار کرد:

$$ 10 = 2\times5 + 0 $$

در این قضیه تمامی اعداد صحیح در نظر گرفته شده اند و نه عدد اعشاری. روش تقسیم ما در واقع تکرار این الگوریتم است. فکر می کنم اعشاری شدن اعداد خارج قسمت و باقیمانده در این الگوریتم نوعی قرارداد برای پیشبرد مراحل و تکرار این الگوریتم باشد.اما باز هم در همه مراحل تمام اعداد صحیح هستند.مشکل این است که در مراحل انجام و امتحان تقسیم اعداد صحیح نیستند.برای رعایت شرط های الگوریتم تقسیم لازم بود با ضرب مقسوم و مقسوم علیه در 100 تقسیم را با اعداد صحیح انجام داد.

Comments

امتحان تقسیم حکم کلی است استثنا پذیر نیست.باید در هر موردی صدق کند

Answer 3

جملهٔ «الگوریتم تقسیم حکم کلی است» درست نیست. الگوریتم تقسیم که در اینجا امتحان تقسیم نامیده‌اید در هر ساختاری مثلا هر حلقه‌ای برقرار نیست و به همین خاطر است که مفهومی به نام حلقه‌های اقلیدسی (یعنی حلقه‌هایی که قضیهٔ الگوریتم تقسیم برایشان صدق می‌کند) وجود دارد. در این حلقه‌ها چیزی که جای درجه و مقایسه کردن را نیز پر کند باید موجود باشد. برای نمونه در حلقهٔ چندجمله‌ای‌های چند متغیره درجهٔ معمولی که جمع توان‌های متغیرها در جملات باشند این کار را انجام نمی‌دهد و باید ترتیب‌های تک‌جمله‌ای‌ها را در نظر گرفت که در حالت تک‌متغیره همان درجهٔ معمولی می‌شود. چرا نمی‌گویم حلقه‌های مدرج؟ چون برای نمونه ترتیب تک‌جمله‌ای‌ها یک ترتیب بر روی کل حلقهٔ چندجمله‌ای‌ها نیست بلکه تنها زیرمجموعهٔ خاصی از آن را مرتب کرده‌است. در مورد اعداد صحیح نیز ترتیب کوچکتری معمولی اعداد صحیح کار را راه می‌اندازد. اما در مورد این پرسش اگر حلقه را اعداد گویا بگیرید یا اعداد حقیقی آنگاه هر عنصر به غیر از صفر وارون‌پذیر و در نتیجه عنصری یکه است و قضیهٔ الگوریتم تقسیم به شکل بدیهیِ هر عضوی برابر وارون مقسوم‌علیه در خودش در مقسوم‌علیه بعلاوهٔ صفر می‌شود، در می‌آید. در واقع قضیهٔ الگوریتم تقسیم برای میدان‌ها همیشه بدیهی است. اگر به مجموعهٔ اعداد با دو رقم اعشار رفته‌اید آنگاه الگوریتم تقسیم برایتان شرط باقیمانده کوچکتر از سه‌صدم را می‌گذارد نه شرط باقیمانده کوچکتر از سه! (تذکر: این ساختار حلقه هم نیست چون نسبت به ضرب بسته نیست.)

در کل، در هر ساختاری ابتدا باید شکل درست الگوریتم تقسیم را بیابید و سپس اینکه برقرار است یا خیر را بررسی کنید. شکل الگوریتم تقسیم به شکل اعضای مجموعه و عمل‌های جمع و ضربش وابسته است و الزامی ندارد برقرار باشد.

پس تناقضی نیست، بلکه شرط دو امتحان تقسیم‌تان را نادرست نوشته‌اید.

Comments

اگر معلم ابتدایی یا دوره ی اول متوسطه باشید .دو رابطه ی تقسیم که حاکی از درست بودن عمل تقسیم میباشد را به بچه ها باید آموزش بدهید اگر دانش آموز ابتدایی این مثال نقض را بیاورد چه پاسخی به او می دهید؟امتحان درستی تقسیم صراحتا در کتاب در مورد اعداد طبیعی واعشاری به این صورت بیان می شود.

---

@rezasalmanian من کتاب ریاضی جدید را ندیده‌ام. می‌شود شمارهٔ صفحهٔ کتاب ریاضی یکم راهنمایی (یا ششم ابتدایی سیستم جدید که من داخل پرانتز بگویم سیستم جدید را قبول ندارم) را بگوئید که در آن امتحان‌کردن تقسیم برای تقسیم‌های اعشاری را اینگونه معرفی کرده‌است؟ یک نگاهی می‌اندازم اگر واقعا اشتباه نوشته‌باشند باید به نویسندگانش یا آموزش و پرورش اطلاع دهید تا تصحیح کنند.

---

تشکر از ابراز نظر تان در تمام مدارس ایرا ن درستی تقسیم به این صورت بیان می شود!

---

@rezasalmanian فکر نکنم «تمام مدارس ایران» در جمله‌تان صحیح باشد چون دوران مدرسه‌ام را در ایران گذرانده‌ام. ولی خوب می‌شود اگر شمارهٔ صفحهٔ مورد نظر را بگوئید.