بنام خداوند بخشنده و مهربان
دوست عزیز، لطفا ازین پس سوالات خود را دقیق‌تر بپرسید و اگر سوالتان منبعی دارد، حتما ذکر کنید.برای پرسیدن سوال هم به بخش راهنمایی سایت مراجعه کنید.
پاسخ: با توجه به اینکه سوالتان محدودیت ندارد، به ناچار خود مرزی قرار می‌دهم و در محدوده‌ی آن پاسخ می دهم. با توجه به اینکه سوال در بخش سوالات دبیرستان و راهنمایی قرار دارد و در این محدوده نیز دانش آموزان بیشتر با اعداد حقیقی $\mathbb{R}$ سر و کار دارند، پس خواص گفته شده را فقط در همین مجموعه بررسی می‌کنیم. جمع و ضرب اعداد حقیقی خاصیت جابجایی دارند. وقتی این خاصیت در مورد یک مجموعه برقرار باشد قطعا برای تعداد دلخواه از اعضای آن نیز برقرار است. یعنی برار هر تعداد دلخواه از اعداد حقیقی خاصیت جابجایی جمع و ضرب برقرار است. اما تفریق و تقسیم اعداد حقیقی خاصیت جابجایی ندارند. ویژگی جابجایی جمع و ضرب را می‌توان به‌صورت زیر به زبان ریاضی بیان کرد:
$$\forall a , b \in \mathbb{R}:\quad a + b=b+a,\quad a \times b = b \times a$$
اما برای اثبات اینکه خواص تفریق و تقسیم برای اعداد حقیقی برقرار نیست کافی است برای هر یک مثالی بزنیم. کافی است اعداد
$a=12$
و
$b=3$
را در نظر بگیرید، داریم:
$$\frac{a}{b}= 12 \div 3=4,\quad\frac{b}{a}= 3 \div 12= 0.25$$
و برای تفریق هم داریم:
$$a-b=12-3=9,\quad b-a=3-12=-9$$
مثال‌های بالا نشان می دهند که برای هر دو عدد حقیقی دلخواه $a$ و $b$ خواص تفریق و تقسیم خاصیت جابجایی ندارند.
