آیا اینکه اعداد صحیح نسبت به عمل های جمع و تفریق و ضرب بسته است یک تعریف و قرارداد است یا دارای اثبات است؟

Question

با سلام . خواص اعداد صحیح (بسته بودن به جمع و ضرب و تفریق) چطور مورد قبول واقع میشوند ؟ اصل ، طبق تعریف یا قضیه ؟اگه قضیه است اثبات کنید

در اینترنت چیزی پیدا نکردم و خودم حدس میزنم جزو تعریف اعداد صحیح باشد اصلاحیه : ظاهرا منظورمو بد رسوندم منظورم اینکه بر چه اساسی این درسته ؟ : $a \in Z \wedge b \in Z \Longrightarrow a.b \in Z $

Comments

@starkaider3 اینکه اعداد صحیح نسبت به عمل جمع و ضرب و تفریق بسته‌است یک تعریف نیست بلکه یک گزاره است و می‌توان آن را ثابت کرد. تعریف مجموعهٔ اعداد صحیح و تعریف این سه عمل بر روی اعداد صحیح را بردارید و این حکم را ثابت کنید.
برای فرمول‌های ریاضی، آنها را بین علامت‌های دلار قرار دهید تا درست نمایش داده شوند مانند کاری که من در ویرایش بر روی پست‌تان انجام دادم.

Answer 1

یک مجموعه را نسبت به یک عمل بسته گوییم هرگاه هر دو عضو دلخواه نسبت به آن عمل به آن عمل عضوی از آن مجموعه باشد.به عنوان مثال مجموعه اعداد صحیح نسبت به عمل جمع یا تفریق یا ضرب بسته است. به این معنی که شما هر دو عضو دلخواه از مجموعه اعداد صحیح را انتخاب کنید و با هم جمع کنید حاصل دوباره یک عدد صحیح است. یا تفریق یا ضرب هردو عضو دلخواه از اعداد صحیح نیز همینطور.اما مجموعه اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق بسته نیست. چون دو عدد $1$و$1$را انتخاب کنید تفریق شان صفر است که جزو اعداد طبیعی نیست.

با توضیح داده شده مشخص است که بسته بودن یک مجموعه نسبت به یک عمل ،یک تعریف است.

Comments

@mahdiahmadileedari جملهٔ اول‌تان را به این شکل تغییر دهید چون معنای جمله‌تان کمی ایراد دارد. چیزی که نوشتید یعنی یک قرارداد است و هر مجموعه‌ای نسبت به هر عملی را باید بسته فرض کنیم. ولی منظوری که شما داشتید این است «بسته‌بودنِ یک مجموعه نسبت به یک عمل، تعریفِ ریاضی دارد».

---

@AmirHosein اصلاح شد. سپاسگزارم

Answer 2

زمانی یک گروه نسبت به عملگری دوتایی مانند عملگر * بسته است چنان که : $\forall a,b\in G \Rightarrow a*b \in G $ حال می توان این گزاره را برای اعداد صحیح اثبات کرد: فرض کنید دو عدد m,n صحیحند ولی m+n صحیح نیست: $m,n \in Z \land m+n \notin Z$ از آنجا که می توان اعداد صحیح را اعداد حقیقی با بخش اعشاری صفر تعریف کرد و داریم: $\forall r_1, r_2 \in R \implies (r_1 = \lfloor r_1\rfloor + {r_1} \land r_2 = \lfloor r_2\rfloor + {r_2} ) \implies r_1 + r_2 = \lfloor r_2\rfloor + {r_2} + \lfloor r_1\rfloor + {r_1}$ که داریم: $\forall (m,n) \in Z^2 \subset R^2 \implies m+n = \lfloor m\rfloor + {m} + \lfloor n\rfloor + {n}$ و گفتیم که می توان اعداد صحیح را اعداد حقیقی با بخش اعشاری صفر تعریف کرد : $\forall (m,n) \in Z^2 \subset R^2 \implies m+n = \lfloor m\rfloor + \lfloor n\rfloor \implies m+n \in Z $ پس: $\nexists m,n \in Z \implies m+n \notin Z$ حال ممکن است بگویید که ما در اثباتمان از خود خاصیت بسته بودن اعداد صحیح استفاده کردیم(نسبت به جمع) ولی خیر در حقیقت ما هر عدد حقیقی مانند r را دو قسمت کردیم جزیی از ان که کوچک تر از ۱ و بزرگتر از ۰ است و انرا {r}نامیدیم وجزء دیگر که آنرا $r - {r} = \lfloor r\rfloor$ واز آن استفاده کردیم.و چون طبق تعریفی که کردیم اعداد صحیح جز اعشار ۰دارند جمع آنها را توانستیم به شکل $\lfloor r \rfloor + \lfloor r\prime\rfloor$بنویسیم .