زمانی یک گروه نسبت به عملگری دوتایی مانند عملگر * بسته است چنان که :
$\forall a,b\in G \Rightarrow a*b \in G $
حال می توان این گزاره را برای اعداد صحیح اثبات کرد:
فرض کنید دو عدد m,n صحیحند ولی m+n صحیح نیست:
$m,n \in Z \land m+n \notin Z$
از آنجا که می توان اعداد صحیح را اعداد حقیقی با بخش اعشاری صفر تعریف کرد و داریم:
$\forall r_1, r_2 \in R \implies (r_1 = \lfloor r_1\rfloor + \{r_1\} \land r_2 = \lfloor r_2\rfloor + \{r_2\} ) \implies r_1 + r_2 = \lfloor r_2\rfloor + \{r_2\} + \lfloor r_1\rfloor + \{r_1\}$
که داریم:
$\forall (m,n) \in Z^2 \subset R^2 \implies m+n = \lfloor m\rfloor + \{m\} + \lfloor n\rfloor + \{n\}$
و گفتیم که می توان اعداد صحیح را اعداد حقیقی با بخش اعشاری صفر تعریف کرد :
$\forall (m,n) \in Z^2 \subset R^2 \implies m+n = \lfloor m\rfloor + \lfloor n\rfloor \implies m+n \in Z $
پس:
$\nexists m,n \in Z \implies m+n \notin Z$
حال ممکن است بگویید که ما در اثباتمان از خود خاصیت بسته بودن اعداد صحیح استفاده کردیم(نسبت به جمع) ولی خیر در حقیقت ما هر عدد حقیقی مانند r را دو قسمت کردیم جزیی از ان که کوچک تر از ۱ و بزرگتر از ۰ است و انرا {r}نامیدیم وجزء دیگر که آنرا $r - \{r\} = \lfloor r\rfloor$ واز آن استفاده کردیم.و چون طبق تعریفی که کردیم اعداد صحیح جز اعشار ۰دارند جمع آنها را توانستیم به شکل $\lfloor r \rfloor + \lfloor r\prime\rfloor$بنویسیم .
