اگر به ازای هر $n$، $ \int_0^1 f(x)^{n} dx= \int_0^1 f(x)dx $ آنگاه $f=\chi_E$

Question

فرض کنید $ f $ نامنفی ولبگ انتگرال پذیر در فاصله $[0,1] $ باشد وبرای هر عدد صحیح $n=1,2,3,... $ ، $ \int_0^1 f(x)^{n} dx= \int_0^1 f(x)dx $ باشد نشان دهید برای زیرمجموعه اندازه پذیری مانند $E\subset [0,1] $ باید$ f $ تقریبا همه جا با $ \chi_E $ برابر باشد. راهنمایی : با استفاده از لم فاتو اثبات شود .

Comments

Let    $ f $     be nonnegative and Lebesgueintegrable  in the  interval $[0,1]  $ ,and  $n=1,2,3,...  $ suppose that , for every integer   
$  \int_0^1 f(x)^{n}  dx= \int_0^1 f(x)dx   $
Show that   $ f $     must be   $a.e.   $  equal to the characteristic   function   $  \chi  _{E}      $    of  some  measurable  set   
$ E \subseteq [0,1] . $

---

ترجمه درستش رو نوشتم.
الان میتونید روی سوال فکر کنید!

---

سلام دوستان میشه لطف کرده  این را اثبات کنید.چون هیچ کدام از  بچه ها دیروز در دانشگاه نتوانسته بودند حلش کنند. من هم هرچه قدر فکر کردم راه به جایی نبردم

Answer 1

فقط کافیه توجه کنید که برای هر $ x $ دنباله ی $ f(x)^n$ اگر $ f(x)< 0 $ باشد به $ 0$همگراست و اگر $ f(x)=1 $ به $ 1 $ همگراست و اگر $ f(x)>1 $ آنگاه به $ \infty $ واگراست. بنابر لم فاتو برای هر $ x $ داریم:
$$\begin{align} \int\liminf f(x)^n&=\int \lim f(x)^n\\ &\leq \liminf\int f(x)^n\\ &=\liminf\int f(x)\\ &=\int f(x) \end{align}$$ اما بنابر فرض $ \int f< \infty $ بنابراین $\int\lim f(x)^n < \infty $ و لذا از گزاره زیر:

اگر $ f $ نامنفی انتگرال پذیر باشد یعنی $ \int f< \infty $ آنگاه $ \{ x: f(x)=\infty\}$ یک مجموعه پوچ است.(برای اثبات مثلا گزاره 2.20 از کتاب فولند را ببینید.)

داریم تقریبا همه جا $\lim f(x)^n < \infty $ و بنابر بحث اولیه ای که داشتیم باید تقریبا همه جا $f\leq 1 $ . در نتیجه تقریبا همه جا $ f^2\leq f $ یعنی $f-f^2\geq 0 $ و چون طبق فرض $ \int f^2=\int f $ پس $ \int(f-f^2)=0 $ که از مثبت بودن زیر انتگرال نتیجه می شود که $f-f^2=0 $ تقریبا همه جا. یا به عبارت دیگر $ f=0 $ یا $f=1 $ تقریبا همه جا. که این هم یعنی $ f $ تقریبا همه جا با $ \chi_E $ برای یک $ E $ اندازه پذیر برابر است.