ثابت کنید که اگر تابعی مختلط مقدار اندازه پذیر باشد آنگاه قدرمطلق آن نیز اندازه پذیر است.

Question

نشان دهید که اگر تابعِ $f$ از یک فضای دلخواه $X$ به اعداد مختلط، اندازه‌پذیر باشد، آنگاه تابعِ $|f|$ نیز اندازه‌پذیر است؟

Answer 1

کافی است نشان دهیم به ازای هر $r\in\mathbb R$ مجموعه ی $\{x:|f(x)|< r\}$ اندازه پذیر است. اما داریم $$\{x:|f(x)|< r\}=\{x:f(x)< r\}\cap \{x:-r< f(x)\}$$