$f:X\to\mathbb R $ اندازه پذیر است اگر و تنها اگر روی متمم یک مجموعه شمارا ثابت باشد.

Question

فرض کنید $ X $ یک مجموعه ناشمارا و $\mathcal A $ سیگماجبر مجموعه های شمارا یا متمم شمارا باشد. نشان دهید که $f:X\to\mathbb R $ اندازه پذیر است اگر و تنها اگر روی متمم یک مجموعه شمارا ثابت باشد.

Comments

موقعی که متن  سوال رو ویرایش میکردم متن انگلیسی رو حذف نکردم چون فکر کردم کلمه ی $co-countable$ اشتباه ترجمه شده و ترجمه ی دقیقش رو منم نمیدونستم
فکر کنم  ترجمش همون مکمل شمارا باشه با وجود این تغییر فکر کنم سوال درست باشه.

Answer 1

یک طرف که واضح است یعنی اگر $f:X\to\mathbb R $ روی متمم یک مجموعه شمارا مانند $ A $ ثابت باشد آنگاه برای هر $ a\in\mathbb R$ داریم $ \{x:f\leq a\}\subset A $ یا $ A^c\subset \{x:f\leq a\} $ (چرا؟)که در هرصورت $ \{x:f\leq a\}$ اندازه پذیر است.(چرا؟)

اما برای اثبات عکس قضیه ابتدا نشان میدهیم که حکم برای توابع ساده برقرار است:

فرض کنید $ \phi:X\to \mathbb R $$\phi=\sum_1^n a_i\chi_{A_i} $ که $ A_i$ ها مجزا بوده و $\bigcup_1^n A_i=X $ . اما چون $ X $ ناشمارا است لذا باید حداقل یکی از این $ A_i $ ها ناشمارا باشد. فرض کنید مثلا $ A_j $ برای $1\leq j\leq n $ ناشماراباشد. اما چون $A_j\in\mathcal A $ و خودش ناشماراست پس باید متممش شمارا باشد یعنی $ A_j^c $ شماراست. بنابر تعریف تابع ساده می دانیم که $\phi( A_j)=a_j $ یعنی $ \phi $ روی مجموعه ای که متممش شماراست ثابت است.

حال فرض کنید $f:X\to\mathbb R $ یک تابع اندازه پذیر دلخواه باشد. در اینصورت بنابر قضیه ای که در همه کتاب های آنالیز حقیقی یافت می شود می دانیم که یک دنباله از توابع ساده $ \phi_i:X\to\mathbb R $ وجود دارد که $ \phi_i\to f $ و چون هر $ \phi $ ها روی یک مجموعه $ A_i$ که متممش شماراست ثابت است در اینصورت $ f $ روی $\cap A_i $ که متممش شماراست ثابت است.(چرا؟)