به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–2 امتیاز
157 بازدید
در دانشگاه توسط milad1995
ویرایش شده توسط admin

enter image description here

لطفا سوالات 5 و 6 را پاسخ دهید ممنون

مرجع: کتاب آنالیز حققی - هاینتس باوئر - مولف دکتر رسول نصر اصفهانی و دکتر فاطمه اختری انتشارات جهاد دانشگاهی صنعتی اصفهان صفحه 25
توسط admin
+1
لطفا سوالات را تایپ کنید. آپلود تصویر برای مواردی است که نیاز است شکل یا نموداری به نمایش در آید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina
انتخاب شده توسط milad1995
 
بهترین پاسخ

اگر تعریف اندازه را به یاد آورید یکی از شرط هایش این بود که $\mu(\emptyset)=0$.

از طرفی از ویژگی های اندزه باید به یاد داشته باشید که اگر $A\subset B$ مجموعه های اندازه پذیری باشند آنگاه $\mu(A)\leq \mu(B)$. همچنین از تعریف اندازه می دانیم که برای هر مجموعه اندازه پذیر $A$ داریم $0\leq \mu(A)$ . پس چون $M,N$ اندازه پذیرند و $M\subset N$ و $N$ مجموعه ای پوچ است لذا $0\leq \mu(M)\leq \mu(N)=0$ که ایجاب می کند $\mu(M)=0$.

یکی دیگر از ویرژگی های اندازه ها ویژگی زیرجمعی بودن آنها بود. یعنی $\mu(\bigcup_i A_i)\leq \sum_i\mu(A_i)$ برای هر گردایه از مجموعه های اندازه پذیر $\{A_i\}_i$.

چون $N_i$ ها پوچ هستند لذا $\mu(N_i)=0$ و از خاصیت زیرجمعی بودن داریم $$0\leq \mu(\bigcup _i N_i)\leq \sum_i \mu(N_i)=\sum_i 0=0$$ که ایجاب می کند $\mu(\bigcup_i N_i)=0$ و چون اجتماع شمارا از مجموعه های اندازه پذیر ، مجموعه ای اندازه پذیر است لذا $\bigcup_i N_i$ یک مجموعه پوچ است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...