به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
210 بازدید
در دانشگاه توسط janmohammadiali
ویرایش شده توسط fardina

نشان دهید کدامیک از گزینه های زیر اندازه پذیر لبگ هستند . در صورت اندازه پذیری ،اندازه آن را بدست آورید .

الف ) $A=\{ \frac{sin n}{n} ; n \in{N } \} $

ب ) $ B=E \bigcap Q^{c}$ که $E $ زیرمجموعه لبگ اندازه ناپذیر از $[0,1] $ می باشد .

توسط fardina
+1
اولی که یک مجموعه شماراست لذا اندازه پذیره ولی در مورد دومی میشه بگید $E$ چیه؟
توسط janmohammadiali
+1
E زیر مجموعه لبگ اندازه پذیر از [1,o]  می باشد .
توسط fardina
+1
خوب چرا اینجوری نوشتین $\{E\cap \mathbb {Q}^c\}$؟
$\mathbb Q^c$خودش اندازه پذیره و چون $E$هم اندازه پذیره پس $E\cap \mathbb {Q}^c$ هم اندازه پذیره.(در واقع اشتراک شمارای مجموعه های اندازه پذیر، اندازه پذیر است)
توسط janmohammadiali
+1
اشتباه شده اگر E اندازه پذیر نباشد

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

مجموعه اولی چون شماراست دارای اندازه صفر است و در مورد دومی چون $E=(E\cap \mathbb Q)\cup (E\cap \mathbb Q^c) $ پس $$\require{cancel}\mu(E)=\cancelto0{\mu(E\cap\mathbb Q)}+\mu(E\cap\mathbb Q^c)=\mu(B) $$ اندازه $ E\cap\mathbb Q $ به خاطر شمارا بودنش صفر شد.


بعد از ویرایش سوال توسط سوال کننده این اضافه شد:

اگر $ E$ اندازه پذیر نباشد آنگاه $B=E\cap \mathbb Q^c $هم اندازه ناپذیر است چون اگر اندازه پذیر باشد آنگاه $ B\cup\mathbb (E\cap Q)=E $ هم اندازه پذیر می شود.

توسط janmohammadiali
+1
با تشکر اگر  E اندازه پذیر نباشد چرا مجموعه B اندازه پذیر نیست
توسط fardina
+1
در جواب اضافه کردم.
توسط
+1
فکر کنمرابطه B∪Q=E اشتباه باشد  چرا B∪Q=E ؟
توسط janmohammadiali
+1
فکر نکنم عبارت  B∪Q=E درست باشد . چرا B∪Q=E   ؟
توسط fardina
حق با شماست ویرایش کردم.
ممنون @erfanm
+1 امتیاز
توسط erfanm

در جواب قسمت آخر مساله داریم:

در واقع $ E=(E \cap Q) \cup (E \cap Q^{c} ) $ و میدانیم مجموعه ی $E \cap Q$ چون شماراست اندازه پذیر است حال اگر $E \cap Q^{c}$ اندازه پذیر باشد آنگاه اجتماع دو مجموعه ی اندازه پذیر، اندازه پذیر می شود یعنی $E$ اندازه پذیر است که با فرض در تناقض است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...