Question

نشان دهید کدامیک از گزینه های زیر اندازه پذیر لبگ هستند . در صورت اندازه پذیری ،اندازه آن را بدست آورید .

الف ) $A=\{ \frac{sin n}{n} ; n \in{N } \}$

ب ) $B=E \bigcap Q^{c}$ که $E$ زیرمجموعه لبگ اندازه ناپذیر از $[0,1]$ می باشد .

Comments

اولی که یک مجموعه شماراست لذا اندازه پذیره ولی در مورد دومی میشه بگید $E$ چیه؟

---

E زیر مجموعه لبگ اندازه پذیر از [1,o]  می باشد .

---

خوب چرا اینجوری نوشتین $\{E\cap \mathbb {Q}^c\}$؟
$\mathbb Q^c$خودش اندازه پذیره و چون $E$هم اندازه پذیره پس $E\cap \mathbb {Q}^c$ هم اندازه پذیره.(در واقع اشتراک شمارای مجموعه های اندازه پذیر، اندازه پذیر است)

---

اشتباه شده اگر E اندازه پذیر نباشد

Answer 1

مجموعه اولی چون شماراست دارای اندازه صفر است و در مورد دومی چون $E=(E\cap \mathbb Q)\cup (E\cap \mathbb Q^c)$ پس $$\require{cancel}\mu(E)=\cancelto0{\mu(E\cap\mathbb Q)}+\mu(E\cap\mathbb Q^c)=\mu(B)$$ اندازه $E\cap\mathbb Q$ به خاطر شمارا بودنش صفر شد.

---

بعد از ویرایش سوال توسط سوال کننده این اضافه شد:

اگر $E$ اندازه پذیر نباشد آنگاه $B=E\cap \mathbb Q^c$هم اندازه ناپذیر است چون اگر اندازه پذیر باشد آنگاه $B\cup\mathbb (E\cap Q)=E$ هم اندازه پذیر می شود.

Comments

با تشکر اگر  E اندازه پذیر نباشد چرا مجموعه B اندازه پذیر نیست

---

در جواب اضافه کردم.

---

فکر کنمرابطه B∪Q=E اشتباه باشد  چرا B∪Q=E ؟

---

فکر نکنم عبارت  B∪Q=E درست باشد . چرا B∪Q=E   ؟

---

حق با شماست ویرایش کردم.
ممنون @erfanm

Answer 2

در جواب قسمت آخر مساله داریم:

در واقع $E=(E \cap Q) \cup (E \cap Q^{c} )$ و میدانیم مجموعه ی $E \cap Q$ چون شماراست اندازه پذیر است حال اگر $E \cap Q^{c}$ اندازه پذیر باشد آنگاه اجتماع دو مجموعه ی اندازه پذیر، اندازه پذیر می شود یعنی $E$ اندازه پذیر است که با فرض در تناقض است.

Comments

مممون عالی