نشان دهید هر مجموعه ی بورل اندازه پذیر لبگ است.

Question

با سلام. لازم است نشان دهم که هر مجموعه بورل اندازه پذیر لبگ است و هر اندازه بورلی پیوسته نیست. با تشکر.

Comments

یعنی چی اندازه بورل پیوسته نیست؟

Answer 1

لطفا قضیه کاراتئودوری را به یاد بیاورید.

برای یک پیش اندازه ی $\mu_0$ که روی جبر $\mathcal A$ داده شده است اندازه خارجی $\mu^*$ که به صورت $\mu^*(A)=\inf\{\sum_1^\infty\mu_0(A_k):A_k\in \mathcal A,A\subset\cup_kA_k\}$ تعریف میکنیم نسبت داده می شود. اگر $\mathcal M$ سیگماجبر مجموعه های $\mu^*$-اندازه پذیر باشد در اینصورت $\mu^*|_\mathcal M$ یک اندازه کامل است و به علاوه $\mathcal A\subset \mathcal M$ .

اما اندازه لبگ را چطور می سازیم؟ از یک خانواده مقدماتی به صورت $\mathcal E=\{(a,b]:a< b,\ a,b\in\mathbb R\cup\{\infty\}\}$ شروع می کردیم و مجموعه ی تمام اجتماع های متناهی و مجزای اعضای $\mathcal E$ تشکیل یک جبر $\mathcal A=\{\cup_1^n E_k: n\in\mathbb N,E_k\in\mathcal E,E_k\ disjoint\}$ می دهند. حالا پیش اندازه ی $\mu_0$ را به صورت $\mu_0(\cup_1^n(a_k,b_k])=\sum_1^n(b_k-a_k)$ تعریف می کردیم. در اینصورت اندازه خارجی $\mu^*$ به دست می آید که تحدید آن روی مجموعه های $\mu^*$-اندازه پذیر را اندازه لبگ میگفتیم یعنی $m=\mu^*|_\mathcal M$ . بنابرآنچه دربالا گفته شد(قضیه کاراتئودوری) می دانیم که $\mathcal A\subset\mathcal M$ ولی از طرفی $\mathcal E\subset\mathcal A$ بنابراین $\mathcal E\subset \mathcal M$

اما می دانیم که $\mathcal E$ سیگماجبر بورل را تولید می کند پس $\mathcal B_{\mathbb R}\subset\mathcal M$