f,gتوابع لبگ اندازه پذیرند ولی لزوماfogاندازه پذیر نیست

Question

فرض کنیدf,gاز اعداد حقیقی به اعداد حقیقی توابع لبگ اندازه پذیر باشددراینصورت لزوما fogلبگ اندازه پذیر نیست مثال بزنید.ممنون اگه راهنمایی کنید.

Answer 1

فرض کنید $f:[0,1]\to [0,1]$ تابع کانتور باشد. و فرض کنید $g:[0,1]\to [0,2]$ تابع دوسویی پیوسته $g(x)=f(x)+x$ باشد. اگر $h=g^{-1}$ در اینصورت $h$ هم تابعی پیوسته است.

اگر مجموعه کانتور را با $C$ نمایش دهیم ثابت می شود که $g(C)$ دارای اندازه $2$ است و لذا دارای زیرمجموعه ای اندازه ناپذیر مثل $A$ است. در اینصورت می توان نشان داد $ (C\supset)B=g^{-1}(A)$ مجموعه ای لبگ است که بورل نیست.

در اینصورت $\chi_B$ (تابع مشخصه $B$ اندازه پذیر لبگ است است چون $B$ اندازه پذیر لبگ است) و $h$ (اندازه پذیر لبگ است چون پیوسته است) توابعی لبگ اندازه پذیرند ولی $\chi_B\circ h$ اندازه پذیر نیست چون $$(\chi_B\circ h)^{-1}(\{1\})=h^{-1}\circ \chi_B^{-1}(\{1\})=h^{-1}(B)=g(B)=A$$

Comments

سوال 9 فصل دوم کتاب فولند هست