اگر $A \subset \mathbb R$ و به ازای هر $E \subseteq A $ ، بدانیم $E$ اندازه پذیر است آنگاه $\mu(A)=0$

Question

اگر $ A \subset R$ و به ازای هر $E \subseteq A $ ، بدانیم $E$ اندازه پذیر است ثابت کنید $ \mu (A)=0 $

Answer 1

کافی است این مطلب را اثبات کنیم که:

اگر $ \mu(A)>0$ آنگاه $ A$ شامل یک زیر مجموعه اندازه ناپذیر است!

برای اثبات این مطلب مجموعه اندازه ناپذیر ویتالی $ N $ که در اینجا توضیح داده رو در نظر بگیرید.

در اینصورت:

هر زیرمجموعه اندازه پذیر $N $ دارای اندازه صفر است.زیرا اگر $ A\subset N $ آنگاه چون برای $ r\in R=[0,1)\cap\mathbb Q $ داریم $ A_r=A+r\ mod1\subset N+r\ mod1 $ و $ N_r $ها مجزا هستند و بازه صفر و یک را می پوشانند. (توجه کنید که بدون کاستن کلیت مساله می توان فرض کرد که $A\subset [0,1) $ ) پس: $$ 1\geq \mu(A)=\mu(\bigcup_{r\in R}\mu(A_r)=\sum_{r\in R}\mu(A_r)=\sum_{r\in R}\mu(A) $$ پس اگر $\mu(A)>0 $ آنگاه سری بالا بی نهایت می شود در حالیکه کوچکتر از $ 1 $ است و این یک تناقض است.

حال برای اثبات مطلب بالا فرض کنید $A\subset [0,1) $ و $ \mu(A)>0 $ باشد. در اینصورت چون $ N_r$ ها ( $r\in R $ ) مجزا بوده و بازه صفر و یک را می پوشانند لذا $A=\bigcup_{r\in R}(A\cap N_r) $ و اگر همه ی $ A\cap N_r $ها اندازه پذیر باشند آنگاه بنابر مطلب بالا اندازه آنها صفر بوده و لذا داریم: $$0< \mu(A)=\sum_{r\in R}\mu(A\cap N_r)=\sum_{r\in R}0=0 $$ که تناقض است لذا حداقل یکی از $A\cap N_r $ ها اندازه ناپذیر است.

---

حالا برای اثبات مساله شما اگر $ \mu(A)>0 $ آنگاه بنابر مطلب بالا دارای یک زیرمجموعه اندازه ناپذیر است که با فرض اندازه پذیر تمام زیرمجموعه هایش در تناقض است.