چنانچه محفل ریاضی را سودمند یافتید، لطفا برای حمایت از ما به کانال تلگرامی محفل ریاضی بپیوندید!
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
725 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط صدف
ویرایش شده توسط admin

فرض کنید [$x \in [0,1$ , دنباله $a_{n}$ بسط سه سه ای آن باشد. تابع $f_{1}$ را از $[0,1]$ به $[0,1]$ تعریف می کنیم.

$f_{1}(x) =\begin{cases} \sum_1^ \infty a_{n}/2 . 1/2^{n} & a_{n} \neq 0 \\ \sum_1^ \infty a_{n}/2 . {1/2^{n}+1/2^{N}} & a_{N}=1 \end{cases}$

$N$ اولین اندیسی است که

نشان دهید $f_{1}$ مجموعه کانتور را به طور پوشا به $[0,1]$ تصویر میکند. غیر نزولی و پیوسته است. روی هر بازه که در مکمل مجموعه کانتور واقع می شود ثابت است.

فرض کنید $x+f_{1}$ برابر تابع $f$ باشد. نشان دهید $f$ یک همسانریختی از $[0,1]$ به $[0,2]$ است. $f$ مجموعه کانتور را به مجموعه ای با اندازه یک تصویر میکند. اگر $g$ برابر وارون $f$ باشد نشان دهید مجموعه اندازه پذیر $A$ وجود دارد که وارون $g$ در $A$ اندازه پذیر نیست.

مثالی از تابع پیوسته $g$ و تابع اندازه پذیر $h$ ارایه دهید که $hog$ اندازه پذیر نباشد. در اخر نشان دهید مجموعه اندازه پذیری موجود است که برل نیست.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina
ویرایش شده توسط fardina

لطفا در هر سوالی فقط یک موضوع رو مطرح کنید. و تلاشتونو بنویسید.

برای سوالات اولتون در مورد تابع کانتور مطلبی که در وبلاگ نوشتم رو بخونید: تابع کانتور

دو سویی بودن تابع $f:[0,1]\to [0, 2]$ از خواص تابع کانتور نتیجه می شود.

و از طرفی $f(K)=f_1(K)+K$ (منظور از $K$ مجموعه کانتور است) اما بنابرآنچه در بالا گفتیم $f_1(K)=[0, 1]$ بنابراین $f(K)=[0 ,1]+K$ که از اینجا هم نتیجه می شود $m(f(K))=1$ (چرا؟)

اما هر مجموعه ای که دارای اندازه بزرگتر از صفر باشد دارای زیرمجموعه ای اندازه ناپذیر است: اینجا رو ببینید.

پس چون $m(f(K))> 0$ پس دارای زیرمجموعه ای اندازه ناپذیر مثل $A$ است. در اینصورت $ B=g^{-1}(A) $ لبگ اندازه پذیر است در حالیکه بورل اندازه پذیر نیست. زیرا اگر فرض کنیم $B$ بورل اندازه پذیر باشد در اینصورت از پیوستگی تابع $g^{-1}$ نتیجه می شود $(g^{-1})^{-1}(B)=A$ بورل اندازه پذیر خواهد بود که با فرض اندازه ناپذیری $A$ در تناقض است.

لبگ اندازه پذیری از اینجا نتیجه می شود که هر زیرمجموعه ی یک مجموعه ی با اندازه صفر اندازه پذیر است(بنابرتعریف کامل بودن) و در اینجا هم $B\subset K$ .

لطفا ما را در شبکه های اجتماعی دنبال کنید:
به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

♥ حمایت مالی

راهنمایی:

  • برای رفتن به سطر بعدی دو بار Enter بزنید.
  •  یک بار Enter یک فاصله محسوب می‌شود.
  •  _ایتالیک_ یا I و **پررنگ** یا B
  •  نقل‌قول با قراردادن > در ابتدای خط یا ❝
  • برای چپ به راست کردن متن کلیدهای Ctrl+Shift سمت چپ کیبورد را فشار دهید
  •  برای تایپ فرمول ابتدا روی ریاضی کلیک کرده و سپس به کمک آیکون‌های موجود فرمول را در بین دو علامت دلار

<math> $ $ </math>

بنویسید.

  •  برای اینکه فرمول در خط بعدی و وسط صفحه قرار گیرد دو علامت دلار اضافی بنویسید

<math> $$ $$ </math>


☑ راهنمایی بیشتر: راهنمای تایپ
59 نفر آنلاین
0 عضو و 59 مهمان در سایت حاضرند
بازدید امروز: 377
بازدید دیروز: 6817
بازدید کل: 4709519
...