مجموعه ای لبگ اندازه پذیر که بورل اندازه پذیر نباشد.

Question

فرض کنید [$x \in [0,1$ , دنباله $a_{n}$ بسط سه سه ای آن باشد. تابع $f_{1}$ را از $[0,1]$ به $[0,1]$ تعریف می کنیم.

$f_{1}(x) =\begin{cases} \sum_1^ \infty a_{n}/2 . 1/2^{n} & a_{n} \neq 0 \\ \sum_1^ \infty a_{n}/2 . {1/2^{n}+1/2^{N}} & a_{N}=1 \end{cases}$

$N$ اولین اندیسی است که

نشان دهید $f_{1}$ مجموعه کانتور را به طور پوشا به $[0,1]$ تصویر میکند. غیر نزولی و پیوسته است. روی هر بازه که در مکمل مجموعه کانتور واقع می شود ثابت است.

فرض کنید $x+f_{1}$ برابر تابع $f$ باشد. نشان دهید $f$ یک همسانریختی از $[0,1]$ به $[0,2]$ است. $f$ مجموعه کانتور را به مجموعه ای با اندازه یک تصویر میکند. اگر $g$ برابر وارون $f$ باشد نشان دهید مجموعه اندازه پذیر $A$ وجود دارد که وارون $g$ در $A$ اندازه پذیر نیست.

مثالی از تابع پیوسته $g$ و تابع اندازه پذیر $h$ ارایه دهید که $hog$ اندازه پذیر نباشد. در اخر نشان دهید مجموعه اندازه پذیری موجود است که برل نیست.

Answer 1

لطفا در هر سوالی فقط یک موضوع رو مطرح کنید. و تلاشتونو بنویسید.

برای سوالات اولتون در مورد تابع کانتور مطلبی که در وبلاگ نوشتم رو بخونید: تابع کانتور

دو سویی بودن تابع $f:[0,1]\to [0, 2]$ از خواص تابع کانتور نتیجه می شود.

و از طرفی $f(K)=f_1(K)+K$ (منظور از $K$ مجموعه کانتور است) اما بنابرآنچه در بالا گفتیم $f_1(K)=[0, 1]$ بنابراین $f(K)=[0 ,1]+K$ که از اینجا هم نتیجه می شود $m(f(K))=1$ (چرا؟)

اما هر مجموعه ای که دارای اندازه بزرگتر از صفر باشد دارای زیرمجموعه ای اندازه ناپذیر است: اینجا رو ببینید.

پس چون $m(f(K))> 0$ پس دارای زیرمجموعه ای اندازه ناپذیر مثل $A$ است. در اینصورت $ B=g^{-1}(A) $ لبگ اندازه پذیر است در حالیکه بورل اندازه پذیر نیست. زیرا اگر فرض کنیم $B$ بورل اندازه پذیر باشد در اینصورت از پیوستگی تابع $g^{-1}$ نتیجه می شود $(g^{-1})^{-1}(B)=A$ بورل اندازه پذیر خواهد بود که با فرض اندازه ناپذیری $A$ در تناقض است.

لبگ اندازه پذیری از اینجا نتیجه می شود که هر زیرمجموعه ی یک مجموعه ی با اندازه صفر اندازه پذیر است(بنابرتعریف کامل بودن) و در اینجا هم $B\subset K$ .