کاردینال سیگماجبر بورل و لبگ

Question

با سلام لطف میکنید یه منبع معرفی کنید که در آن کاردینال لبگ و کاردینال بورل اثباتش را آورده باشه.

ممنون

Answer 1

برای کاردینال سیگماجبر بورل کار ساده ای نیست و باید از استقرای ترامتناهی استفاده کنی. مثلا به این سوال رجوع کن که مرجع داده شده.

و برای کاردینال سیگماجبر لبگ توجه کنید که مجموعه کانتور یک مجموعه لبگ اندازه پذیر است و هر زیرمجموعه ی مجموعه کانتور هم از اندازه صفر است لذا هر زیر مجموعه مجموعه کانتور لبگ اندازه پذیر است یعنی $\mathcal L\supset P(C) $ که $ \mathcal L $ سیگماجبر لبگ و $ C $ مجموعه کانتور و $P(C) $ مجموعه توانی $C $ است. چون $ card(C)=card(\mathbb R) $ پس $ card(\mathcal L)\geq card(P(C))= card(P(\mathbb R))=2^c $ ولی چون $ \mathcal L\subset P(\mathbb R)$ لذا $ card(\mathcal L)\leq card(P(\mathbb R))=2^c $ بنابراین $ card(\mathcal L)=2^c $ .