$A \subseteq[0,1] $ اندازه پذیر لبگ از اندازه مثبت باشد آنگاه دو نقطه در $A$با تفاضل گویا وجود دارد.

Question

فرض کنید $A \subseteq[0,1] $ اندازه پذیر لبگ بوده و دارای اندازه مثبت باشد . ثابت کنید دو نقطه $X,Y \in A$ وجود دارد که $X-Y \in Q$

Answer 1

یک تمرین کلی تر هست از این قرار:

اگر $ E$ یک مجموعه لبگ اندازه پذیر و $ m(E)>0 $ باشد آنگاه $\epsilon>0 $ موجود است که $ E-E=\{x-y:x,y\in E\} $ شامل $[-\varepsilon,\varepsilon] $ (یک فاصله به مرکز صفر) است.

اگه اینو بتونید ثابت کنید واضحه که اون گزاره ای که گفتید ثابت میشه.

در هر صورت راه حل دیگه ای هم برای اثبات مستقیم گزاره شما وجود داره:

فرض کنید $ R=\mathbb Q\cap [0,1]=\{r_1,r_2, r_3,...\} $ اعداد گویای واقع در بازه ی صفر و یک باشد. در اینصورت تعریف می کنیم: $$ A_n=A+r_n=\{a+r_n:a\in A\} $$ در اینصورت حداقل دو تا از این $ A_n$ ها با هم اشتراک دارند. (چرا؟!)

و این مساله شمارا اثبات می کند.

Comments

در صورت امکان در مورد دلیل اینکه  حداقل دو تا از این An ها با هم اشتراک دارند. بیشتر توضیح بدهید ممنون

---

اگر همه آنها دو به دو مجزا باشند آنگاه $m(\cup A_n)=\sum_1^\infty m(A_n)=\sum_1^\infty m(A)=\infty$
در حالیکه $\cup A_n\subset [0,2]$.