نشان دهید مجموعه های $E$ و $E+r$ دارای اندازه یکسانند.

Question

فرض کنید که مجموعه $ E \subseteq R $ لبگ اندازه پذیر باشد. نشان دهید برای هر $r\in\mathbb R $ هر انتقال $ E+r : = \big\{x+r | x \in E\big\} $ نیز لبگ اندازه پذیر بوده ودارای اندازه یکسان با $ E $ است.

Comments

کتاب آنالیز حقیقی فولند "Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications " فصل 1 قضیه 1.21 اثبات شده است.

---

خیلی کار خوبیه که اینجوری منبع بدین ممنون

---

البته اگر بعد از خوندن اون منبع سوالی داشتین میتونید بپرسید.

---

دستتان درد نکنه اگه این جوری راهنمایی کنید ممنون میشم مرسی از لطفتان .

Answer 1

نکته مهم در اثبات این مطلب استفاده از قضیه مهم زیر است:(برای اثبات به قضیه 14.1 کتاب فولند رجوع کنید)

قضیه: فرض کنید $ \mathcal A\subset P(X)$ یک جبر و $ \mu_0:\mathcal A\to [0,\infty] $ یک پیش اندازه روی آن و $ \mathcal M $ سیگماجبر تولید شده توسط $ \mathcal A $ باشد. در اینصورت یک اندازه روی $ \mathcal M $ وجود دارد که $\mu\vert_\mathcal A=\mu_0 $ . و اگر $ \mu_0 $ سیگمامتناهی باشد، آنگاه $ \mu $ توسیع یکتای $\mu_0 $ به یک اندازه روی $ \mathcal M $ است. یعنی اگر $ \nu $ یک توسیع دیگر $\mu_0 $ باشد آنگاه $ \mu=\nu $ .

توجه کنید که در اثبات قضیه فوق ثابت میشه که $ \mu $ همان تحدید اندازه خارجی تولید شده توسط پیش اندازه $ \mu_0 $ است یعنی $ \mu=\mu^*\vert_\mathcal M$ .

حال برای هر $ E\in\mathcal B_\mathbb R $ تعریف کنید: $m_s(E)=m(E+s) $ که $ m $ اندازه لبگ است ولی دقت هم بکنید که $m\vert_{\mathcal B_\mathbb R} $ همان اندازه بورل است. حال چون $E\in\mathcal B_{\mathbb R} $ لذا $ E+s\in\mathcal B_{\mathbb R} $ (زیرا
$ \mathcal B_\mathbb R $ سیگماجبر تولید شده توسط فاصله های باز است و فاصله های باز هم تحت عمل انتقال پایا هستند. ) در اینصورت اگر $ \mathcal A $ را مجموعه تمام اجتماع های متناهی و مجزا از فاصله های باز که به اندازه $s $ انتقال داده شده اند بگیرید تشکیل یک جبر می دهد.(چون می دانیم که فاصله های باز تشکیل یک خانواده مقدماتی می دهند و اجتماع مجزای متناهی از یک خانواده مقدماتی تشکیل یک جبر می دهد:(گزاره 1.7 از کتاب فولند))

حال دقت کنید که اندازه بورل $m $ روی هر مجموعه در $ \mathcal A $ با اندازه $ m_s$ برابر است. پس در شرایط قضیه فوق صدق می کنند. یعنی $ m\vert_\mathcal A=m_s $ و توجه کنید که چون $ m $ سیگمامتناهی است پس باید روی سیگماجبر تولید شده توسط $\mathcal A $ که همان سیگماجبر بورل است برابر باشند.

برای قسمت آخر اثبات هم توجه کنید که سیگماجبر لبگ کامل شده ی سیگماجبر بورل است. یعنی عناصر سیگماجبر لبگ به صورت اجتماع یک مجموعه بورل و یک مجموعه لبگ پوچ است.

اما واضح است که برای هر مجموعه لبگ پوچ $E $ داریم $m(E+s)=0 $ یعنی $ m $ تحت مجموعه های با اندازه لبگ صفر پایا است. و چون سیگاجبر بورل ثابت کردیم تحت عمل انتقال پایاست بنابراین پایا بودن اندازه لبگ هم نتیجه می شود.