هر مجموعه اندازه پذیر را با اجتماع متناهی از فاصله های باز می توان تقریب زد.

Question

فرض کنید $E \subset R$ نشان دهید گزاره های زیر هم ارزند:

الف) $E$ اندازه پذیر لبگ است.

ب) اگر $m^{*}(E) < \infty$ آنگاه برای هر $\varepsilon > 0$ تعداد متناهی بازه باز $U= I_{1} \cup I_{2} \cup ... \cup I_{n}$ وجود دارد که $m^{*} (E \bigtriangleup U)< \varepsilon$ .

Comments

قضیه 1.20 فصل اول کتاب فولند این قضیه ثابت شده.

---

سلام بنده نگاه کردم اثبات نداشت فقط صورت قضیه بود میشه لینک بذارید تشکر

---

بله توجه نکردم. تازه اون مرجع قضیه رو فقط یک طرفه گفته ولی مال شما دوطرفه س.

Answer 1

نکته کلیدی این قضیه استفاده از این مطلبه که

اگر $E\subset \mathbb R$ آنگاه به ازای هر $\varepsilon>0$ یک مجموعه باز $U\supset E$ وجود دارد که $m^*(U)\leq m^*(E)+\varepsilon$ یعنی $$m^*(E)=\inf\{m^*(U):U\supset E, U \ is \ open\}$$

توجه کنید که این مطلب برای تمام زیرمجموعه های $\mathbb R$ برقرار است. ولی نمی توان از مطلب بالا نتیجه گرفت که
$m^*(U\setminus E)\leq \varepsilon$. ولی از طرفی این مطلب برای مجموعه های لبگ اندازه پذیر برقرار است یعنی:

زیرمجموعه $E\subset \mathbb R$ لبگ اندازه پذیر است اگر وتنها اگر به ازای هر $\varepsilon>0$ یک مجموعه باز $U\supset E$ وجود دارد که $m^*(U\setminus E)< \varepsilon$

اثبات قضیه: چون $E$ لبگ اندزه پذیر است لذا برای هر $\varepsilon>0$ یک مجموعه باز $U$ که شامل $E$ است وجود دارد که $m^*(U\setminus E)\leq \varepsilon$ . بنابر قضیه ای از آنالیز 1 می دانیم که هر مجموعه باز را می توان به صورت اجتماع شمارایی از بازه های باز نوشت. فرض کنید $U=\bigcup_1^\infty I_n$ که $I_n$ ها فاصله های باز هستند. اما $\bigcup I_n=(\bigcup I_n\setminus E) \cup E$ بنابراین: $$m(\bigcup I_n)=\sum m(I_n)=m(U)\leq m(E)+\varepsilon$$

اما چون $m(E)< \infty$ لذا سری بالا همگرا بوده پس برای $\varepsilon>0$ داده شده یک $N$ هست که $\sum_1^\infty m(I_n)-\sum_1^N m(I_n)=\sum_{N+1}^\infty I_n\leq \varepsilon$

در اینصورت کافی است قرار دهید: $A=\cup_1^N I_n$ .(چرا؟)

برای اثبات عکس قضیه بنابرقضیه بالا کافی است ثابت کنیم که به ازای هر $\varepsilon>0$ یک مجموعه باز $U\supset E$ وجود دارد که $m^*(U\setminus E)\leq\varepsilon$ .

فرض $\varepsilon>0$ دلخواه باشد لذا بنابر فرض اجتماعی متناهی از فاصله های باز که آن را $\mathcal O$ می نامیم وجود دارد که $m^*(A \triangle \mathcal O)=m^*((A\setminus \mathcal O)\cup (\mathcal O\setminus A))\leq \varepsilon$ . مجموعه ی $A\setminus \mathcal O$ را در نظر بگیرید در اینصورت بنابر قضیه بالا متناظر $\varepsilon>0$ داده شده یک مجموعه باز $V\supset (A\setminus \mathcal O)$ وجود دارد که:
$m^*(V)\leq m^*(A\setminus \mathcal O)+\varepsilon$ در اینصورت کافی است قرار دهید $U:=\mathcal O\cup V$ در اینصورت ثابت می شود که $m^*(U\setminus A)\leq \varepsilon$ (چرا؟)