نکته کلیدی این قضیه استفاده از این مطلبه که
اگر $ E\subset \mathbb R $ آنگاه به ازای هر $ \varepsilon>0 $ یک مجموعه باز $U\supset E $ وجود دارد که $ m^*(U)\leq m^*(E)+\varepsilon $ یعنی
$$ m^*(E)=\inf\{m^*(U):U\supset E, U \ is \ open\} $$
توجه کنید که این مطلب برای تمام زیرمجموعه های $ \mathbb R $ برقرار است. ولی نمی توان از مطلب بالا نتیجه گرفت که
$m^*(U\setminus E)\leq \varepsilon $. ولی از طرفی این مطلب برای مجموعه های لبگ اندازه پذیر برقرار است یعنی:
زیرمجموعه $ E\subset \mathbb R $ لبگ اندازه پذیر است اگر وتنها اگر
به ازای هر $ \varepsilon>0 $ یک مجموعه باز $ U\supset E $ وجود دارد که
$ m^*(U\setminus E)< \varepsilon $
اثبات قضیه: چون $ E $ لبگ اندزه پذیر است لذا برای هر $ \varepsilon>0 $ یک مجموعه باز $ U $ که شامل $ E $ است وجود دارد که $m^*(U\setminus E)\leq \varepsilon $ . بنابر قضیه ای از آنالیز 1 می دانیم که هر مجموعه باز را می توان به صورت اجتماع شمارایی از بازه های باز نوشت. فرض کنید $ U=\bigcup_1^\infty I_n $ که
$I_n $ ها فاصله های باز هستند. اما $ \bigcup I_n=(\bigcup I_n\setminus E) \cup E$ بنابراین:
$$m(\bigcup I_n)=\sum m(I_n)=m(U)\leq m(E)+\varepsilon $$
اما چون $ m(E)< \infty $ لذا سری بالا همگرا بوده پس برای $\varepsilon>0 $ داده شده یک
$ N$ هست که
$ \sum_1^\infty m(I_n)-\sum_1^N m(I_n)=\sum_{N+1}^\infty I_n\leq \varepsilon $
در اینصورت کافی است قرار دهید: $A=\cup_1^N I_n $ .(چرا؟)
برای اثبات عکس قضیه بنابرقضیه بالا کافی است ثابت کنیم که به ازای هر $\varepsilon>0 $ یک مجموعه باز
$ U\supset E $ وجود دارد که $ m^*(U\setminus E)\leq\varepsilon $ .
فرض $ \varepsilon>0 $ دلخواه باشد لذا بنابر فرض اجتماعی متناهی از فاصله های باز که آن را $ \mathcal O $ می نامیم وجود دارد که
$ m^*(A \triangle \mathcal O)=m^*((A\setminus \mathcal O)\cup (\mathcal O\setminus A))\leq \varepsilon $ . مجموعه ی
$ A\setminus \mathcal O $ را در نظر بگیرید در اینصورت بنابر قضیه بالا متناظر $\varepsilon>0 $ داده شده یک مجموعه باز $ V\supset (A\setminus \mathcal O)$ وجود دارد که:
$ m^*(V)\leq m^*(A\setminus \mathcal O)+\varepsilon $ در اینصورت کافی است قرار دهید $ U:=\mathcal O\cup V $ در اینصورت ثابت می شود که $ m^*(U\setminus A)\leq \varepsilon$ (چرا؟)
