$f$ اندازه پذیر است هرگاه $\lbrace x:f(x) \geq r\rbrace$ برای هر عدد گویای $r$ اندازه پذیر باشد

Question

ثابت کنید اگر $f$یک تابع حقیقی بر فضای اندازه پذیر $X$باشد به طوری که $\lbrace x:f(x) \geq r\rbrace$ به ازای هر عدد گویای $r$ اندازه پذیر است،انگاه $f$ اندازه پذیر است؟

Answer 1

برای هر $a\in\mathbb R$ باید نشان دیم $\{x: f(x)> a\}$ اندازه پذیر است.

اما برای هر $a$ می دانیم دنباله گویای $r_n$ نزولی وجود دارد که $r_n\searrow a$ و داریم

$$\{x:f(x)> a\}=\bigcup_1^\infty\{x:f(x)> r_n\}$$

هر کدام از مجموعه های $\{x:f(x)> r_n\}$ طبق فرض اندازه پذیر اند و اجتماع شمارای مجموعه های اندازه پذیر هم مجموعه ای اندازه پذیر است.