به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
119 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط
دوباره دسته بندی کردن توسط fardina

ثابت کنید اگر $f$یک تابع حقیقی بر فضای اندازه پذیر $X$باشد به طوری که $\lbrace x:f(x) \geq r\rbrace$ به ازای هر عدد گویای $r$ اندازه پذیر است،انگاه $f$ اندازه پذیر است؟

مرجع: انالیز حقیقی و مختلط -والتر رودین-فصل 1- سوال 3

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+1 امتیاز
توسط fardina

برای هر $a\in\mathbb R$ باید نشان دیم $\{x: f(x)> a\}$ اندازه پذیر است.

اما برای هر $a$ می دانیم دنباله گویای $r_n$ نزولی وجود دارد که $r_n\searrow a$ و داریم $$\{x:f(x)> a\}=\bigcup_1^\infty\{x:f(x)> r_n\}$$

هر کدام از مجموعه های $ \{x:f(x)> r_n\} $ طبق فرض اندازه پذیر اند و اجتماع شمارای مجموعه های اندازه پذیر هم مجموعه ای اندازه پذیر است.

لطفا برای گسترش و ادامه فعالیت محفل ریاضی از آن حمایت کنید:

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...