برای هر $a\in\mathbb R$ باید نشان دیم $\{x: f(x)> a\}$ اندازه پذیر است.
اما برای هر $a$ می دانیم دنباله گویای $r_n$ نزولی وجود دارد که $r_n\searrow a$ و داریم
$$\{x:f(x)> a\}=\bigcup_1^\infty\{x:f(x)> r_n\}$$
هر کدام از مجموعه های $ \{x:f(x)> r_n\} $ طبق فرض اندازه پذیر اند و اجتماع شمارای مجموعه های اندازه پذیر هم مجموعه ای اندازه پذیر است.
