تابع $f:(X,\mathcal M)\to (Y,\mathcal N) $ اندازه پذیر گوییم هرگاه به ازای هر $ E\in\mathcal N $ داشته باشیم: $ f^{-1}(E)\in\mathcal M $ .
اگر سیگماجبر $ \mathcal N$ توسط $ \mathcal E$ تولید شده باشد در اینصورت می توان ثابت کرد که :
$f $ اندازه پذیر است اگروتنها اگر به ازای هر $ E\in\mathcal E $ داشته باشیم: $ f^{-1}(E)\in\mathcal M$ .
حال برای توابع $ f:(X,\mathcal M)\to(\mathbb R,\mathcal B_\mathbb R) $ چون سیگماجبر بورل $\mathcal B_\mathbb R $ توسط گردایه $ \mathcal E=\{(a,\infty):a\in\mathbb R\}$ تولید می شود لذا بنابر گزاره بالا $ f:(X,\mathcal M)\to(\mathbb R,\mathcal B_\mathbb R) $ اندازه پذیر است اگر و تنها اگر به ازای هر
$E\in\mathcal E= \{(a,\infty):a\in\mathbb R\}$ که $ E=(a,\infty) $ برای $ a\in\mathbb R $ داشته باشیم: $ f^{-1}(E)=f^{-1}(a,\infty)=\{x\in X:f(x)> a\} $ اندازه پذیر باشد.
همچنین می توان نشان داد نشان داد $f $ اندازه پذیر است اگر و تنها اگر $ \{x:f(x)\geq a\} $ اندازه پذیر باشد. چون $\mathcal B_\mathbb R $ توسط $\{[a,\infty):a\in\mathbb R\} $ تولید می شود.
و به علاوه چون $\mathcal B_\mathbb R $ توسط هر کدام از گردایه های $ \{(-\infty,a):a\in\mathbb R\}$ و
$ \{(-\infty,a]:a\in\mathbb R\} $ تولید می شود پس $ f $ اندازه پذیر است اگروتنها اگر به ازای هر $ a\in\mathbb R $ مجموعه $\{x:f(x)< a\} $ اندازه پذیر باشد.(یا مجموعه $ \{x: f(x)\leq a\}$اندازه پذیر باشد) .
