تابع f:(X,\mathcal M)\to (Y,\mathcal N) اندازه پذیر گوییم هرگاه به ازای هر E\in\mathcal N داشته باشیم: f^{-1}(E)\in\mathcal M .
اگر سیگماجبر \mathcal N توسط \mathcal E تولید شده باشد در اینصورت می توان ثابت کرد که :
f اندازه پذیر است اگروتنها اگر به ازای هر E\in\mathcal E داشته باشیم: f^{-1}(E)\in\mathcal M .
حال برای توابع f:(X,\mathcal M)\to(\mathbb R,\mathcal B_\mathbb R) چون سیگماجبر بورل \mathcal B_\mathbb R توسط گردایه \mathcal E=\{(a,\infty):a\in\mathbb R\} تولید می شود لذا بنابر گزاره بالا f:(X,\mathcal M)\to(\mathbb R,\mathcal B_\mathbb R) اندازه پذیر است اگر و تنها اگر به ازای هر
E\in\mathcal E= \{(a,\infty):a\in\mathbb R\} که E=(a,\infty) برای a\in\mathbb R داشته باشیم: f^{-1}(E)=f^{-1}(a,\infty)=\{x\in X:f(x)> a\} اندازه پذیر باشد.
همچنین می توان نشان داد نشان داد f اندازه پذیر است اگر و تنها اگر \{x:f(x)\geq a\} اندازه پذیر باشد. چون \mathcal B_\mathbb R توسط \{[a,\infty):a\in\mathbb R\} تولید می شود.
و به علاوه چون \mathcal B_\mathbb R توسط هر کدام از گردایه های \{(-\infty,a):a\in\mathbb R\} و
\{(-\infty,a]:a\in\mathbb R\} تولید می شود پس f اندازه پذیر است اگروتنها اگر به ازای هر a\in\mathbb R مجموعه \{x:f(x)< a\} اندازه پذیر باشد.(یا مجموعه \{x: f(x)\leq a\}اندازه پذیر باشد) .
